vector de coordenadas





Vector de coordenadas

Matematicas : Geometria-vectores

vector de coordenadas

 

coordenadas de un vector

En el tablero de ajedrez de la figura 1, imagina que el caballo negro, situado en la casilla D3 se desplaza a F4: este desplazamiento puede interpretarse como una traslación de un cierto vector coordenadas de un vectorque transforma D3 en F4.

Pero también podríamos considerar que el punto de llegada (punto central de la casilla F4) es la imagen del punto de salida (punto central de la casilla D3) mediante dos traslaciones sucesivas: una traslación horizontal de dos casillas a la derecha y una traslación vertical de una casilla hacia arriba. Estas dos traslaciones nos permiten decir que las coordenadas o componentes del vector coordenadas de un vectorson 2 y 1.

 

I. Leer las coordenadas de un vector

1. Componentes de un vector

Sea Oxy un sistema de coordenadas cartesianas y coordenadas de un vectorun vector que une dos puntos A y B cualesquiera, también llamado vector vectores coordenados.

Para leer las coordenadas del vector coordenadas de un vector, podemos descomponer la traslación que transforma A en B, que es la traslación del vector coordenadas de un vector, en dos traslaciones sucesivas: primero una paralela al eje horizontal Ox, y después otra paralela al eje Oy.

Es decir, para trasladarnos de A a B, primero nos desplazamos paralelamente a Ox, y después paralelamente a Oy.

El desplazamiento paralelo a Ox será la abscisa, coordenada x o componente x del vector:

—si este desplazamiento se efectúa en la dirección de las x crecientes (a la derecha de O), se considera un valor positivo;

—si este desplazamiento se efectúa en la dirección de las x decrecientes (a la izquierda de O), se considera un valor negativo.

El desplazamiento paralelo a Oy será la ordenada, coordenada y o componente y del vector:

—si este desplazamiento se efectúa en la dirección de las y crecientes (hacia arriba de O), se considera un valor positivo;

—si este desplazamiento se efectúa en la dirección de las y decrecientes (hacia abajo de O), se considera un valor negativo;

Ejemplo: consideremos la figura 2.

coordenadas de vectores

Para ir de A a B, necesitamos desplazarnos 4 unidades paralelamente al eje Ox en la dirección de las x crecientes; la abscisa o coordenada x del vector es entonces +4. Después necesitamos desplazarnos 2 unidades paralelamente al eje Oy en la dirección de las y decrecientes; la ordenada o coordenada y del vector coordenadas de un vectores entonces – 2.

El vector vector de coordenadastiene pues las coordenadas (4, –2). Lo escribimos así: vector de coordenadas(4, -2).

2. Ejemplos

Queremos deducir de la figura 3, las coordenadas de los vectores coordenadas de vectores, coordenadas de vectores, vector de coordenadas, coordenadas de vectores, vectores, vectores, coordenadasy coordenadas.

coordenadas

Las coordenadas de estos vectores son:

coordenadas de vectores(-2, -3); coordenadas de vectores(0, -4); vector de coordenadas(-6, 0); coordenadas de vectores(4, 1); vectores(0, 2); vectores(2, -5); coordenadas(3, 0); coordenadas(-4, 3).

Nota: algunos vectores son paralelos a uno de los ejes de referencia, como por ejemplo el vector coordenadas de vectores. Este vector corresponde a un desplazamiento de 0 unidades paralelamente al eje Ox (no hay por tanto desplazamiento horizontal) y de 4 unidades paralelamente al eje Oy, en la dirección de las y decrecientes. Sus coordenadas son entonces (0, –4).

Un caso particular: el vector nulo tiene por coordenadas (0, 0), independientemente de cuál sea el origen de coordenadas, ya que la representación de dicho vector es un punto.

 

II. Representar un vector de coordenadas dadas

1. Un ejemplo

Representemos un vector de coordenadas (–5, 1) en el sistema de coordenadas cartesianas Oxy. Dibujemos un vector vectores coordenadosque represente a este vector vector de coordenadas.

Para ello escojamos un punto cualquiera A, por ejemplo A (1, 2), y situemos el punto B, que es la imagen de A por una traslación del vector vector de coordenadas(-5, 1). Según lo expuesto en el apartado I.1:

—nos desplazamos 5 unidades desde A, paralelamente al eje Ox en el sentido de las x decrecientes (lo que corresponde a la abscisa -5 de vectores coordenados);

—después nos desplazamos 1 unidad paralelamente a Oy en el sentido de las y crecientes (lo que corresponde a la ordenada +1 de vectores coordenados).

Se obtiene el punto B.

coordenadas

2. Otros ejemplos

Ejemplo 1: queremos representar los siguientes vectores en un sistema de coordenadas cartesianas Oxy:

coordenadas de vectores(4, -3); coordenadas de vectores(0, 2); vectores coordenados(-5, -2); coordenadas(4, 6); vectores(-4, 0).

coordenadas

Ejemplo 2: sea Oxy un sistema de coordenadas cartesianas, y vectores coordenadosy coordenadas de vectoresdos vectores tales que vectores coordenados(5, 2) y coordenadas de vectores(-4, 3). Sean los puntos M (–1, –3) y P (2, 1). Queremos situar los puntos R y S definidos por las igualdades vectoriales coordenadas =  vectores coordenadosy coordenadas =  vectores.

Se trata de construir un vector con origen en M que represente al vector vectores coordenadosy otro vector con origen en P que represente al vectorvectores. Para ello seguimos el método utilizado en el ejemplo del apartado II.1.

coordenadas