Que es un triángulo rectángulo





triángulo rectángulo

Matematicas : Geometria-Poliedros


Un triángulo rectángulo

 

Sabemos que los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo cumplen ciertas relaciones, así como que podemos dibujar una circunferencia tal que el triángulo quede inscrito en ella.

¿Cómo usar estas propiedades para comprobar si un triángulo es o no rectángulo?

 

I. El triángulo tiene dos ángulos complementarios

1. Propiedad

Si un triángulo tiene dos ángulos complementarios (es decir, si la suma de sus amplitudes es igual a 90°), entonces tiene un ángulo recto.

2. Ejemplo

Enunciado: Sea el paralelogramo ABCD. La bisectriz del ángulo un triangulo rectangulocorta a la bisectriz del ángulo un triangulo rectanguloen I.

Queremos demostrar que el triángulo un triangulo rectanguloes rectángulo.

un triangulo rectangulo

Solución: sabemos que dos ángulos consecutivos de un paralelogramo son ángulos suplementarios.

Así pues, un triangulo rectangulo.

Por las bisectrices que hemos trazado: un triangulo rectanguloy un triangulo rectangulo.

Sustituyendo en la primera ecuación resulta: un triangulo rectangulo, que simplificada queda un triangulo rectangulo.

Por tanto, los ángulos triangulo rectanguloe triangulo rectanguloson complementarios.

El triángulo triangulo rectangulotiene dos ángulos complementarios ( triangulo rectanguloe triangulo rectangulo), y un ángulo recto en I.

Nota: si trazamos las cuatro bisectrices del paralelogramo ABCD, el cuadrilátero creado por los cuatro puntos de intersección de estas líneas es un rectángulo.

triangulo rectangulo

 

II. El triángulo queda inscrito en una circunferencia cuyo diámetro es uno de los lados del triángulo

 

1. Propiedad

Si el triángulo triangulo rectanguloestá inscrito en la circunferencia de diámetro BC, entonces triangulos rectangulostiene un ángulo recto en A.

2. Ejemplo

Problema: la circunferencia C tiene su centro en O. Sea A un punto exterior al círculo cuya circunferencia es C. Unimos O con A y dibujamos otra circunferencia con centro en el punto medio de OA y diámetro OA; esta nueva circunferencia cortará a C en dos puntos: E y D. Queremos comprobar que el triángulo triangulos rectanguloses un triángulo rectángulo.

triangulos rectangulos

Solución: el triángulo triangulos rectangulosestá inscrito en la circunferencia de diámetro AO, que es uno de sus lados. Tiene, por tanto, un ángulo recto en D.

Nota: la recta AD es perpendicular al radio OD en D. La recta AD es pues tangente a la circunferencia C en el punto D.

También podemos probar que el triángulo triangulos rectangulostiene un ángulo recto en E, ya que la recta AE es tangente a la circunferencia C en el punto E.

 

III. El triángulo cumple el teorema de Pitágoras

 

1. Propiedad

Sea triangulos rectangulosun triángulo. Si las longitudes de sus lados verifican la relación: BC² = AB² + AC², el triángulo tiene un ángulo recto en el vértice A.

2. Ejemplo

Problema: sea un triángulo triangulos rectangulos. Las longitudes de sus lados vienen expresadas en centímetros: DE = 5, EF = 13 y DF = 12. ¿Es rectángulo este triángulo?

triangulos rectangulos

Solución: EF es el lado mayor. Comparemos los valores EF² y DE² + DF².

EF² = 13² = 169 y DE² + DF² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169.

Por tanto, se tiene que: EF² = DE² + DF².

 

Según el teorema de Pitágoras, el triángulo tiene un ángulo recto en el vértice D.