triangulos semejantes





triangulos semejantes

Matematicas : Geometria


triangulos semejantes

 

Si transformamos un triángulo en otro, de manera que pueda ser superpuesto a aquél, y si estas series de transformaciones se hacen sin ninguna alteración de las longitudes de los lados de ambos triángulos, entonces podemos decir que los dos triángulos son iguales.

La idea de triángulos iguales es diferente de la idea de triángulos semejantes: dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes tienen la misma amplitud.

 

I. ¿Cómo podemos comprobar que dos triángulos son iguales?

Dos triángulos son iguales si pueden ser superpuestos mediante traslación o rotación o mediante un giro (simetría axial o central).

Además, si los triángulos semejanzas de trianguloy criterios de semejanza de triangulosson iguales es posible encontrar una de estas transformaciones —o una serie de ellas— tal que la imagen del triángulo semejanzas de triangulo, fuera el triángulo criterios de semejanza de triangulos.

Para comprobar que dos triángulos son idénticos, usaremos uno de estos tres casos de igualdad que definimos a continuación.

criterios de semejanza de triangulos

Habiendo comprobado que dos triangulos semejantes, podemos probar fácilmente que las longitudes de los lados y/o las amplitudes de los ángulos son iguales.

Ejemplo:

semejanzas de trianguloes un triángulo escaleno y ABDE y BCFG son cuadrados. Queremos demostrar que los segmentos CD y AG son de la misma longitud.

criterios de semejanza de triangulos

Sabemos que:

AB y BD son dos lados del cuadrado ABDE, entonces AB = BD;

BC y BG son dos lados del cuadrado BCFG, entonces BC = BG;

además, criterios semejanza de triangulos.

Los triángulos criterios semejanza de triangulosy criterios semejanza de triangulostienen un ángulo del mismo tamaño entre dos lados respectivos de la misma longitud; por tanto, de acuerdo con el segundo caso de igualdad de triángulos, los dos triángulos son iguales.

Deducimos que los lados CD y AG son de la misma longitud.

Notaremos que la transformación que convierte el triángulo criterios semejanza de triangulosen el triángulo criterios semejanza de trianguloses un giro de 90º en sentido contrario a las agujas del reloj, en torno a un centro situado en B.

 

II. ¿Cómo podemos probar que dos triángulos son semejantes?

Definimos triángulos semejantes (o con la misma forma) si sus ángulos correspondientes son de la misma amplitud.

Para demostrar que dos triángulos son semejantes, solo tenemos que comprobar que dos de sus ángulos correspondientes son de la misma amplitud. Dado que la suma de los ángulos de un triángulo es 180º, no necesitamos demostrar que el tercer ángulo es igual.

Ejemplo:

A, B, C y D son cuatro puntos de una circunferencia, y AC corta a BD en I. Queremos comprobar que los triángulos criterios semejanza de triangulosy congruente de triangulosson semejantes.

congruente de triangulos

Los ángulos inscritos congruente de triangulosy congruente de trianguloscomparten el mismo arco BC, por lo que ambos tienen la misma amplitud; y la misma igualdad es aplicable a los ángulos inscritos semejanza de triangulosy semejanza de triangulos.

Los dos triángulos congruente de triangulosy congruente de triangulostienen dos ángulos respectivos iguales. Por lo tanto, son semejantes.

Nota: para demostrar que dos triángulos son semejantes, también podemos usar el inverso del teorema de los triángulos semejantes (ver más abajo): si dos triángulos tienen sus lados correspondientes proporcionales en longitud, entonces son semejantes.

 

III. ¿Qué podemos probar usando triángulos semejantes?

Si dos triángulos son semejantes, las longitudes de sus lados correspondientes son proporcionales. Este teorema básico nos permite probar relaciones de equivalencia.

Ejemplo 1:

semejanza de triangulos

semejanzas de trianguloy criterios de semejanza de triangulosson dos triángulos semejantes. Si llamamos k a la razón de las longitudes de los lados de estos triángulos, tendremos:

semejanza de triangulos

Si k > 1, k es un coeficiente de agrandamiento; si k < 1, k es un coeficiente de reducción. La razón o ratio de las áreas de los triángulos criterios de semejanza de triangulosy semejanzas de trianguloes entonces k2.

Ejemplo 2:

A, B, C y D son cuatro puntos de una circunferencia, y AC corta a BD en I. Así mismo, ID = 12 e IB = 36. Queremos comparar las áreas de los triángulos semejanza de triangulosy congruencia de triangulos.

congruente de triangulos

Ya hemos comprobado que estos dos triángulos son semejantes (ver el ejemplo del apartado II), por lo que sus lados son proporcionales, esto es:

congruencia de triangulos

La razón del área del triángulo semejanza de triangulosrespecto del área del triángulo congruencia de trianguloses igual a 9.

Así: área semejanza de triangulos= k2 × área congruencia de triangulos, esto es: área congruencia de triangulos = 9 × área congruencia de triangulos.

Resumen

—Si dos triángulos tienen un lado de la misma longitud, adyacente a dos ángulos respectivos iguales, entonces son iguales.

—Si dos triángulos tienen un ángulo igual, formado por dos lados respectivos de la misma longitud, los triángulos son iguales.

—Si los tres lados respectivos de dos triángulos son de la misma longitud, entonces los triángulos son iguales.

—Dos triángulos son semejantes si y solo si las longitudes de sus lados correspondientes son proporcionales.

—Si llamamos k a la razón —ratio— de las longitudes de los lados correspondientes de dos triángulos semejantes, entonces la razón de sus áreas es k2.