Traslación vectorial

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Traslación vectorial

traslaciones
El concepto de traslación, ilustrado en la figura 1, nos permite introducir el concepto de vector. Los vectores se usan en matemáticas, y también en física para representar, por ejemplo, una fuerza o una velocidad.
¿Qué relación hay entre las traslaciones y los vectores?

I. Definición y notación de un vector
En la figura 2, ABDCCDFEEFHG y GHJI son paralelogramos.
traslaciones
Podemos decir que:
—la traslación que transforma A en B también transforma en D;
—la traslación que transforma C en D también transforma E en F;
—la traslación que transforma E en F también transforma G en H;
—la traslación que transforma G en H también transforma I en J.
Así pues, la traslación que transforma A en BC en DE en FG en H, e I en J es la misma.
Y podemos decir que los pares de puntos (AB), (CD), (EF), (GH) y (IJ) representan al mismo vector.
Escribimos traslacionesvectorestraslacion de vectorestraslacion de vectorestraslacion de vectores, y traslacionesse lee “vector AB”.
También podemos representar el vector con una única letra minúscula con una flecha encima o en letra negrita, sin flecha, por ejemplo, u o la traslación de vectores(tanto u como la traslación de vectoresse leen “vector u”), y decimos que traslacionesvectorestraslacion de vectorestraslacion de vectorestraslacion de vectoresrepresentan todos a la traslación de vectores.
Podemos entonces escribir: la traslación de vectorestraslacionesvectorestraslacion de vectorestraslacion de vectorestraslacion de vectores.
Los puntos A y B son el origen (o punto de aplicación) y el extremo del vector traslaciones, respectivamente.
No hay que confundir los vectores traslacionesla traslación de vectores, ya que son vectores opuestos.
Gráficamente, un vector se representa con una flecha, como podemos ver en la figura 3.
la traslación de vectores
Nota: un vector se puede representar infinitas veces, en distintas posiciones (por ejemplo, el vector la traslación de vectoresde la figura anterior, aparece representado cinco veces).

II. Vectores y traslaciones
Definición: la traslación que transforma A en B se llama traslación de vector traslaciones.
Podemos decir que:
—si D es la imagen de C por una traslación de vector vectores, entonces vectoresvectores;
—si vectoresvectores, entonces D es la imagen de C por una traslación de vector vectores.
Ejemplo 1: una traslación transforma un punto R en otro punto P; el punto T es la imagen del punto O por esta misma traslación. ¿Cómo podemos expresar esto en una igualdad vectorial?
La traslación que transforma R en P también transforma O en T. Luego, por definición, tenemos que la traslación de vectorestraslacion en el plano cartesiano.
Ejemplo 2: ¿qué traslación vendría definida por la igualdad vectorial traslacion en el plano cartesianotraslacion en el plano cartesiano?
La traslación que transforma M en N también transforma W en Z, de manera que Z es la imagen de W por la traslación de vector traslacion en el plano cartesiano.

III. Características de un vector
Observemos de nuevo la figura en la que vectoresvectorestraslacion de vectorestraslacion de vectorestraslacion de vectoresrepresentan al mismo vector la traslación de vectoresy tratemos de deducir las características de este vector.
traslacion en el plano cartesiano
Las rectas ABCDEFGH e IJ son paralelas entre sí, ya que los lados opuestos de un paralelogramo son paralelos. Por tanto, podemos decir que las rectas ABCDEFGH e IJ tienen la misma dirección.
Decimos que esta es la dirección del vector la traslación de vectores.
Observemos el orden de los puntos en las parejas (AB), (C, D), (EF), (GH) y (IJ)). El dibujo nos permite decir que el sentido de A hacia B, de C hacia D, de E hacia F, de G hacia H o de I hacia J es el mismo: el que indican las flechas sobre las letras, vectorestraslacion de vectorestraslacion de vectorestraslacion de vectoresla traslación de vectores. Este es el sentido del vector la traslación de vectores.
Finalmente, las longitudes de los segmentos ABCDEFGH e IJ son iguales, ya que los lados opuestos de un paralelogramo son iguales. A la longitud común de los segmentos ABCDEFGH e IJ se le llama magnitud o módulo del vector la traslación de vectores.
En resumen: un vector está caracterizado por su dirección, su sentido y su módulo.
Nota: solo hay un vector que no tiene dirección ni sentido: el vector nulo. El módulo de este vector es cero.