traslacion vectorial





traslacion vectorial

Matematicas : Geometria-vectores

traslacion vectorial

 

traslaciones

El concepto de traslación, ilustrado en la figura 1, nos permite introducir el concepto de vector. Los vectores se usan en matemáticas, y también en física para representar, por ejemplo, una fuerza o una velocidad.

¿Qué relación hay entre las traslaciones y los vectores?

 

I. Definición y notación de un vector

En la figura 2, ABDC, CDFE, EFHG y GHJI son paralelogramos.

traslaciones

Podemos decir que:

—la traslación que transforma A en B también transforma C en D;

—la traslación que transforma C en D también transforma E en F;

—la traslación que transforma E en F también transforma G en H;

—la traslación que transforma G en H también transforma I en J.

Así pues, la traslación que transforma A en B, C en D, E en F, G en H, e I en J es la misma.

Y podemos decir que los pares de puntos (AB), (CD), (EF), (GH) y (IJ) representan al mismo vector.

Escribimos traslaciones= vectores= traslacion de vectores= traslacion de vectores= traslacion de vectores, y traslacionesse lee “vector AB”.

También podemos representar el vector con una única letra minúscula con una flecha encima o en letra negrita, sin flecha, por ejemplo, u o la traslación de vectores(tanto u como la traslación de vectoresse leen “vector u”), y decimos que traslaciones, vectores, traslacion de vectores, traslacion de vectorese traslacion de vectoresrepresentan todos a la traslación de vectores.

Podemos entonces escribir: la traslación de vectores= traslaciones= vectores= traslacion de vectores= traslacion de vectores= traslacion de vectores.

Los puntos A y B son el origen (o punto de aplicación) y el extremo del vector traslaciones, respectivamente.

No hay que confundir los vectores traslacionesy la traslación de vectores, ya que son vectores opuestos.

Gráficamente, un vector se representa con una flecha, como podemos ver en la figura 3.

la traslación de vectores

Nota: un vector se puede representar infinitas veces, en distintas posiciones (por ejemplo, el vector la traslación de vectoresde la figura anterior, aparece representado cinco veces).

 

II. Vectores y traslaciones

Definición: la traslación que transforma A en B se llama traslación de vector traslaciones.

Podemos decir que:

—si D es la imagen de C por una traslación de vector vectores, entonces vectores= vectores;

—si vectores= vectores, entonces D es la imagen de C por una traslación de vector vectores.

Ejemplo 1: una traslación transforma un punto R en otro punto P; el punto T es la imagen del punto O por esta misma traslación. ¿Cómo podemos expresar esto en una igualdad vectorial?

La traslación que transforma R en P también transforma O en T. Luego, por definición, tenemos que la traslación de vectores= traslacion en el plano cartesiano.

Ejemplo 2: ¿qué traslación vendría definida por la igualdad vectorial traslacion en el plano cartesiano= traslacion en el plano cartesiano?

La traslación que transforma M en N también transforma W en Z, de manera que Z es la imagen de W por la traslación de vector traslacion en el plano cartesiano.

 

III. Características de un vector

Observemos de nuevo la figura en la que vectores, vectores, traslacion de vectores, traslacion de vectorese traslacion de vectoresrepresentan al mismo vector la traslación de vectoresy tratemos de deducir las características de este vector.

traslacion en el plano cartesiano

Las rectas AB, CD, EF, GH e IJ son paralelas entre sí, ya que los lados opuestos de un paralelogramo son paralelos. Por tanto, podemos decir que las rectas AB, CD, EF, GH e IJ tienen la misma dirección.

Decimos que esta es la dirección del vector la traslación de vectores.

Observemos el orden de los puntos en las parejas (AB), (C, D), (EF), (GH) y (IJ)). El dibujo nos permite decir que el sentido de A hacia B, de C hacia D, de E hacia F, de G hacia H o de I hacia J es el mismo: el que indican las flechas sobre las letras, vectores, traslacion de vectores, traslacion de vectores, traslacion de vectorese la traslación de vectores. Este es el sentido del vector la traslación de vectores.

Finalmente, las longitudes de los segmentos AB, CD, EF, GH e IJ son iguales, ya que los lados opuestos de un paralelogramo son iguales. A la longitud común de los segmentos AB, CD, EF, GH e IJ se le llama magnitud o módulo del vector la traslación de vectores.

En resumen: un vector está caracterizado por su dirección, su sentido y su módulo.

Nota: solo hay un vector que no tiene dirección ni sentido: el vector nulo. El módulo de este vector es cero.