El teorema de Thales de mileto 2





EL teorema de Thales de mileto

Matematicas : Geometria-Semejanzas


teorema de Thales de mileto (2)

 

El matemático griego Tales de Mileto (siglo VI a.C.), llamado así porque era procedente de la ciudad de Mileto, en Asia Menor, no fue el creador del teorema que lleva su nombre, el cual ya había sido utilizado mucho antes. En el siglo III a.C. Euclides aportó pruebas de este teorema en su obra Elementos.

 

I. Definición del teorema

Cuando dos rectas secantes son cortadas por varias rectas paralelas, los segmentos que se forman en una de las secantes son proporcionales a los que se forman en la otra.

teorema de thales

Para entender mejor la definición del teorema, imaginemos un triángulo teorema de thalescomo el de la figura 1. Si señalamos un punto M sobre el lado AB y por él trazamos una paralela al lado BC, entonces, el lado AC del triángulo quedará cortado por la paralela en un punto que llamaremos N. Si volvemos a trazar otra paralela por un punto Q, que corte al lado AC por P, ya tendremos elementos suficientes para entender el teorema de Tales.

Pues bien, el teorema de Tales afirma que la razón de dos segmentos cualesquiera de los que se han formado en AB es igual a la razón de otros dos cualesquiera que estén en AC. Es decir, que si medimos y hallamos la razón teorema de thales, el resultado que obtenemos es el mismo que si calculamos esta otra: teorema de thales, o también que teorema de thales.

Y dice algo más: que todas las razones anteriores también son iguales a estas otras: teorema de thales, teorema de thalesy teorema de thales; y a estas: problemas teorema de tales, problemas teorema de talesy problemas teorema de tales. Resumiendo, podemos afirmar que:

problemas teorema de tales

Nota: en el esquema de abajo tenemos una forma práctica de recordar este teorema:

problemas teorema de tales

II. Aplicar el teorema

1. Calcular longitudes

Problema:observa la figura 2. problemas teorema de taleses un triángulo. RS = 5 cm, RT = 6 cm y ST = 7 cm. El punto M está en el lado RS y RM = 3 cm. La recta paralela a ST, que pasa por M, corta al lado RT en el punto N. Queremos calcular la longitud de RN y MN.

problemas teorema de tales

Solución: el punto M se encuentra sobre el lado RS, N está en el lado RT y el lado ST y la recta MN son paralelos. Por lo tanto, estamos ante una situación de rectas secantes cortadas por paralelas, es decir, el teorema de Tales.

1) Para calcular RN. Entre todas las posibilidades de igualdad de razones que nos ofrece el teorema de Tales, vamos a escoger aquella que se adapte mejor a los datos que nos ofrece el problema (3, 5, 6 y 7).

Así, no será muy difícil llegar a la conclusión de que: problemas teorema de tales. Y sustituyendo los datos: ejemplos de teorema de tales. Si escribimos el inverso en ambos términos de la ecuación, ejemplos de teorema de tales, y despejamos, tenemos que: ejemplos de teorema de tales. Por lo tanto, RN = 3,6 cm.

2) Para calcular MN. Tenemos varias opciones. Una de ellas podría ser: ejemplos de teorema de tales. Si sustituimos los datos, tenemos que: ejemplos de teorema de tales. Dando la vuelta a la ecuación: ejemplos de teorema de tales, y despejando, ejemplos de teorema de tales. Por lo tanto, MN = 4,2 cm.

En conclusión: RN mide 3,6 cm y MN mide 4,2 cm.

2. Comprobar si dos rectas son paralelas

En la figura de abajo, AB = 7 cm, AC = 11 cm, AM = 5 cm y AN = 8 cm.

¿Son paralelas las líneas BC y MN?

ejemplos de teorema de tales

En la ilustración, las líneas MN y BC parecen paralelas, ¿pero lo son realmente?

Si MN y BC son paralelas, deberían cumplir el teorema de Tales y, por tanto, la siguiente expresión debería ser verdadera: ejemplos de teorema de tales.

¿Se cumple esta proporción? Comparemos ejemplos de teorema de talesy ejemplos de teorema de talescon los valores numéricos que nos ofrece el enunciado:

ejemplos de teorema de tales  y ejemplos de teorema de tales

Hacemos un producto cruzado para comprobar si se trata de fracciones equivalentes y obtenemos que: 5 × 11 ejemplos de teorema de tales8 × 7, por lo tanto, ejemplos de teorema de tales, lo cual significa que: ejemplos de teorema de tales.

ejemplos de teorema de talesy ejemplos de teorema de talesno son iguales, por eso MN y BC no pueden ser paralelas.

Ver también el artículo Aplicar el teorema de Tales (1).