teorema de Tales (1)





teorema de Tales (1)

Matematicas : Geometria-Semejanza


teorema de Tales (1)

 

Tales fue un matemático griego que vivió entre los siglos VI y VII a.C. Cuenta la leyenda que fue a Egipto y midió la altura de la pirámide de Keops. Para conseguirlo utilizó el teorema que hoy lleva su nombre. Actualmente sabemos que esta propiedad era conocida desde la época de los babilonios, pero no fue demostrada hasta más tarde.

 

I. El teorema de Tales

d y d' son dos rectas secantes que se cruzan en el punto A. B y M son dos puntos de la recta d distintos de A, y C y N son dos puntos de la recta d' distintos de A.

Si las rectas BC y MN son paralelas, entonces se cumple que teorema de tales.

Este teorema puede ser aplicado en dos situaciones diferentes, conocidas como situaciones o casos de Tales.

Primer caso: el punto M forma parte del segmento AB y el punto N pertenece al segmento AC.

teorema de tales

Segundo caso: el punto A forma parte del segmento MB y el punto A forma parte del segmento NC.

teorema de tales

Notas:

—en ambos casos se forman dos triángulos, teorema de talesy teorema de tales, los cuales tienen en común que sus pares de lados son paralelos;

—podemos observar que en la igualdad teorema de tales, los lados de un triángulo (en este caso teorema de tales) aparecen todos en el numerador, y sus lados correspondientes paralelos en el otro triángulo (en este caso teorema de tales) aparecen todos en el denominador;

—las ecuaciones formadas por estas tres razones indican que uno de los triángulos es una ampliación del otro (a no ser que estas razones fueran igual a 1, en cuyo caso los dos triángulos serían del mismo tamaño).

 

II. Aplicaciones del teorema de tales

1. Calcular longitudes

Problema: en la figura 3 los segmentos AC y BD son paralelos. Las longitudes vienen expresadas en centímetros y OA = 2,5, OB = 3, OC = 2 y DB = 4,8. Queremos calcular las longitudes de OD y AC.

teorema de tales

Solución: puesto que los segmentos AC y BD son paralelos, podemos aplicar el teorema de Tales.

Tenemos que: teorema de tales; así que teorema de tales.

A partir de teorema de tales de miletoobtenemos que teorema de tales de mileto; esto es, OD = 2,4 cm.

A partir de teorema de tales de miletoobtenemos que teorema de tales de mileto; esto es, AC = 4 cm.

 

2. Construir puntos definidos por las razones dadas entre las longitudes

Problema: tenemos dos puntos A y B y trazamos una recta r que pase por ellos. Queremos dibujar dos puntos I y J en la recta r tal que se cumpla: teorema de tales de mileto, todo ello sin usar una regla graduada.

Solución: dibujamos dos rectas paralelas d y d' que corten a la recta r en A y B respectivamente.

Ahora abrimos el compás tanto como la unidad propuesta en la figura 4 y señalamos en d y d´ tantas unidades como nos propone el enunciado: 4 y 7.

teorema de tales de mileto

Marcamos un punto E en d tal que EA = 4. A continuación, pintamos un punto F en d', tal como hemos hecho con E, de manera que FB = 7. Si trazamos ahora una recta que pase por E y F, esta cortará a la recta r en el punto I.

teorema de tales de mileto

Comprobemos que el punto I satisface la ecuación requerida en el enunciado: teorema de tales de mileto. Los segmentos EA y FB, al pertenecer respectivamente a las rectas d y d’, son paralelos, por lo tanto, podemos aplicar el teorema de Tales; de manera que obtenemos: teoremas de tales.

Sustituyendo EA por 4 y FB por 7 en la ecuación teoremas de tales, obtenemos la igualdad que buscábamos: teoremas de tales.

A continuación marcamos el punto G. Se trata de un punto de la recta d, situado a la misma distancia de r que el punto E, de manera que AG = 4. Ahora trazamos una recta que pase por el punto F y el punto G, que cortará a la recta r en un punto que llamaremos J.

teoremas de tales

Comprobamos que el punto J satisface la ecuación requerida en el enunciado del problema: teorema tales. Los segmentos GA y FB pertenecen respectivamente a las rectas d y d’ y, por lo tanto, son paralelos, por lo que podemos aplicar el teorema de Tales; de manera que obtenemos: teorema tales.

Sustituyendo AG por 4 y BF por 7 en la ecuación teorema tales, obtenemos la ecuación que deseábamos: teorema tales.

Ver también el artículo Aplicar el teorema de Tales (2).