Teorema de Pitágoras

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Teorema de Pitágoras

Pitágoras fue un filósofo y matemático griego que vivió en el siglo VI a.C. Sin embargo, el teorema de Pitágoras ya era conocido desde mucho antes.
¿Cuál es este famoso teorema y para qué lo podemos usar?

I. El teorema de Pitágoras

1. Enunciado
En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Por tanto, la ecuación que describe el teorema de Pitágoras podemos escribirla así: h2 = C2 + c2.
Nota: en la definición, la palabra hipotenusa se refiere a la longitud del lado mayor del triángulo rectángulo (hipotenusa), y la palabra catetos hace referencia a la longitud de los otros dos lados del triángulo.
También podemos definir el teorema de Pitágoras de la siguiente manera: Aplicar el teorema de Pitágorases un triángulo; si Aplicar el teorema de Pitágorases un ángulo recto, entonces se cumple que BC² = AB² + AC². Esta ecuación también describe el teorema de Pitágoras.
Aplicar el teorema de Pitágoras
Los lados del triángulo rectángulo tienen nombres propios:
Aplicar el teorema de Pitágoras
2. Aplicaciones
Calcular la longitud de la hipotenusa
Enunciado: el triángulo Aplicar el teorema de Pitágorastiene un ángulo recto en G. Las longitudes vienen expresadas en centímetros. GH = 8 y GF = 15.
Vamos a calcular la longitud de FH.
Aplicar el teorema de Pitágoras
Solución: el triángulo Aplicar el teorema de Pitágorastiene un ángulo recto en G.
Usamos el teorema de Pitágoras: FH² = GF² + GH² y sustituimos GF GH por sus valores: FH² = 15² + 8²;  FH²= 289; FH = Aplicar el teorema de Pitágoras. Por lo tanto, FH = 17 cm.
Calcular la longitud de uno de los catetos
Enunciado: el triángulo Aplicar el teorema de Pitágorases un triángulo rectángulo. Las longitudes están en centímetros. RS = 5 y ST = 8. ¿Cuál es la longitud del cateto RT?
Aplicar el teorema de Pitágoras
Solución: el triángulo Aplicar el teorema de Pitágorases un triángulo rectángulo porque tiene un ángulo recto en R. Según el teorema de Pitágoras: h2 = C2 + c2, o bien: ST² = RS² + RT².
Por sustitución: 8² = 5² + RT²; 64 = 25 + RT². Despejamos: RT² = 64 – 25 = 39. Por lo tanto, el cateto Aplicar el teorema de Pitágoras.
II. El opuesto del teorema de Pitágoras
1. Enunciado
Aplicar el teorema de Pitágorases un triángulo. Si la longitud de sus lados es tal que se cumple esta igualdad: BC² = AB² + AC², entonces el triángulo Aplicar el teorema de Pitágorases un triángulo rectángulo con el ángulo recto en A.
2. Aplicaciones
Comprobar que un triángulo dado es rectángulo
Enunciado: Aplicar el teorema de Pitágorases un triángulo. Las longitudes vienen dadas en metros. MN = 152, NP = 377 y MP = 345.
¿Es un triángulo rectángulo?
Aplicar el teorema de Pitágoras
Solución: el lado más largo es NP. Por tanto, comprobaremos mediante el teorema de Pitágoras (h2 = C2 + c2) que se trata de la hipotenusa. Sustituimos los datos en él y comprobamos si la igualdad NP² = MN² + MP² es cierta o no:
¿377² = 152² + 345²?, es decir, ¿es cierto que 142.129 = 23.104 + 119.025?
Efectivamente, 142.129 = 142.129.
Por lo tanto, este triángulo es un triángulo rectángulo con el ángulo recto en M. Ver también el artículo Demostrar que un triángulo es rectángulo.
Comprobar que un triángulo no es rectángulo
EnunciadoAplicar el teorema de Pitágorases un triángulo. Las longitudes de sus lados son: AB = 11 cm, BC = 13 cm y AC = 17 cm.
¿Se trata de un triángulo rectángulo?
Aplicar el teorema de Pitágoras
Solución: si observamos la figura 5, este triángulo tiene la apariencia de ser un triángulo rectángulo, pero ¿lo es realmente?
El lado más largo es AC. Por ello, este triángulo solo puede tener el ángulo recto en B. (En un triángulo rectángulo, el lado más largo es la hipotenusa).
Comparamos sus lados usando el teorema de Pitágoras: ¿AC² = AB² + BC²?
17² = 11² + 13²; 289 = 121 + 169; 289 Aplicar el teorema de Pitágoras 290
Por lo tanto, AC²  Aplicar el teorema de Pitágoras AB² + BC².
En esta ocasión el teorema de Pitágoras (h2 = C2 + c2) no se cumple y, por lo tanto, este triángulo no es un triángulo rectángulo; es decir, el ángulo en B no es recto.
Dado que el ángulo en B es el único ángulo del triángulo que puede ser recto, Aplicar el teorema de Pitágorasno es un triángulo rectángulo.