seno, coseno y tangente de un angulo en un triangulo rectangulo





Seno, Coseno y Tangente

Matematicas : Geometria-Poliedros


seno, coseno y tangente de un angulo en un triangulo rectangulo

 

La palabra trigonometría procede del griego y significa “estudio de las relaciones numéricas entre las medidas de un triángulo”. El seno, el coseno y la tangente son tres razones trigonométricas.

¿Cómo calculamos esas razones y cuáles son sus propiedades?

 

I. Definiciones

Dado un triángulo Calcular el seno, el coseno y la tangente de un ángulocon ángulo recto en B, consideremos uno de sus ángulos agudos, por ejemplo Calcular el seno, el coseno y la tangente de un ángulo. El lado BC es el cateto opuesto al ángulo Calcular el seno, el coseno y la tangente de un ánguloy el lado AB es el cateto contiguo al ángulo Calcular el seno, el coseno y la tangente de un ángulo.

Calcular el seno, el coseno y la tangente de un ángulo

Podemos definir las tres razones siguientes:

- seno (sen) :

coseno de un angulo

- coseno (cos) :

coseno de un angulo

- tangente (tg) :

coseno de un angulo

Nota: para calcular cualquiera de estas tres razones, las longitudes de los lados del triángulo deben estar expresadas en las mismas unidades.

Ejemplo: si aplicamos estas definiciones al ángulo Calcular el seno, el coseno y la tangente de un ángulode la figura 1, obtenemos:

coseno de un angulo; coseno de un angulo; coseno de un angulo

 

II. Propiedades

Si aplicamos las definiciones previas al otro ángulo agudo del triángulo de la figura 1, es decir, a coseno de un angulo, obtenemos:

coseno de un angulo; coseno de un angulo; coseno de un angulo

Si comparamos con las expresiones para el ángulo Calcular el seno, el coseno y la tangente de un ángulo, observamos que: coseno de un angulo; tangente de un angulo;

tangente de un angulo

Así pues, para los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo podemos afirmar que: el seno de uno de los dos ángulos es igual al coseno del otro, y la tangente de uno es igual a la inversa de la tangente del otro.

Por tanto, ya que los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios, podemos afirmar que: si dos ángulos (no nulos, diferentes de 0º) son complementarios, el seno de uno es igual al coseno del otro, y la tangente de uno es igual a la inversa de la tangente del otro.

Por ejemplo, sen 67° = cos 23° porque el ángulo de 67º y el ángulo de 23º son complementarios (67° + 23° = 90°).

 

III. Ejemplos

1. Ejemplo 1

Problema: sea tangente de un anguloun triángulo rectángulo con su ángulo recto en E, tal que EL = 12 y EM = 5, con las longitudes expresadas en centímetros. Queremos calcular los valores exactos de tangente de un angulo, tangente de un anguloy tangente de un angulo.

tangente de un angulo

Solución: para calcular los valores exactos de tangente de un anguloy tangente de un angulo, necesitamos calcular la longitud de la hipotenusa, ML, del triángulo. Como se trata de un triángulo rectángulo, podemos aplicar el teorema de Pitágoras:

LM² = EL² + EM², es decir, LM² = 12² + 5², de donde LM² = 169, y LM =  tangente de un angulo = 13.

Por definición: tangente de un angulo; y sustituyendo resulta: tangente de un angulo.

Igualmente: triangulo: y sustituyendo resulta: triangulo.

Finalmente: triangulo; y sustituyendo resulta: triangulo.

Nota: usando una calculadora podemos obtener un valor aproximado para el ángulo triangulo, por ejemplo, a partir de tangente de un angulo.

Para ello, tendremos que introducir la siguiente secuencia de teclas: 12 triangulo13 coseno y tangentecoseno y tangentecoseno y tangenteo coseno y tangente( 12 triangulo13 ) seno, coseno y tangente; en algunas calculadoras, la tecla seno, coseno y tangenteequivale a la tecla seno, coseno y tangenteo seno, coseno y tangente.

 

2. Ejemplo 2

Problema: sea seno, coseno y tangenteun triángulo rectángulo con su ángulo recto en P, tal que HP = PR = 1 cm. Como este triángulo además de ser rectángulo es isósceles, sabemos que seno, coseno y tangente. Queremos calcular los valores exactos del seno, coseno y tangente de estos ángulos de 45º.

seno, coseno y tangente

Solución: por definición, seno, coseno y tangente.

Calculamos el valor exacto de HR, la hipotenusa, usando el teorema de Pitágoras:

HR² = HP² + PR², y sustituyendo valores: HR² = 1² + 1², de donde HR² = 2; así pues seno, coseno y tangente.

Entonces seno, coseno y tangente, y por tanto, seno, coseno y tangente.

Según las propiedades que hemos estudiado anteriormente, y puesto que los dos ángulos triangulo rectanguloy triangulo rectanguloson complementarios y miden 45°, se deduce que triangulo rectanguloy por tanto que triangulo rectangulo.

Por definición, triangulo rectangulo. Así pues triangulo rectangulo; de donde se deduce que triangulo rectangulo.

En resumen: triangulo rectanguloy triangulo rectangulo.