Geometría plana

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Geometría plana

El teorema de Pitágoras se aplica a cualquier triángulo rectángulo. El teorema de Tales se aplica a cualquier figura que tenga líneas rectas paralelas cortadas por dos rectas secantes. Para resolver cualquier problema de geometría plana, tenemos que asociarlo con una figura elemental y basarnos en sus propiedades.

I. Propiedades de un triángulo rectángulo

Para hallar las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, usamos el teorema de Pitágoras, que establece que: en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
teoremas de geometria plana
Por ejemplo, en el triángulo rectángulo teoremas de geometria planacon ángulo recto en el vértice ABC2= AB2+ AC2.
Recíprocamente, si queremos demostrar que el triángulo teoremas de geometria planaes rectángulo con ángulo recto en el vértice A, comprobamos que se cumple la relación entre sus lados: BC2= AB2+ AC2.
Para relacionar los ángulos y los lados de un triángulo rectángulo, usamos las siguientes fórmulas trigonométricas:
teoremas de geometria plana
También nos debe resultar familiar la relación teoremas de geometria plana.
Una última propiedad que debemos considerar es que para un triángulo rectángulo inscrito en una circunferencia:
geometria plana
el centro de la circunferencia es el punto medio de la hipotenusa. Por tanto, para demostrar que un triángulo es rectángulo, basta con probar que se puede inscribir en una semicircunferencia.

II. Propiedades de dos rectas paralelas cortadas por una secante

 

En la figura siguiente, las rectas d y d' y la secante s forman:
—pares de ángulos correspondientes, cuyos lados son rectas paralelas, por ejemplo, el par de ángulos de azul;
—pares de ángulos alternos internos, dispuestos entre las dos rectas paralelas alternativamente a ambos lados de la recta secante, por ejemplo, el par de ángulos de naranja;
—pares de ángulos alternos externos, dispuestos hacia el exterior de las rectas paralelas alternativamente a ambos lados de la recta secante, por ejemplo, el par de ángulos de verde.
geometria plana
Puesto que las rectas d y d' son paralelas, cada uno de estos pares de ángulos son iguales. Así, los ángulos correspondientes (de azul) tienen la misma amplitud geometria plana, los ángulos alternos internos (de naranja) tienen la misma amplitud geometria planay los alternos externos (de verde) tienen la misma amplitud geometria plana.
Recíprocamente también se cumple este razonamiento: si los pares de ángulos correspondientes formados por dos rectas d y d' y una secante s son iguales, entonces las rectas d y d' son paralelas.

III. Propiedades de dos rectas paralelas cortadas por dos secantes

En las dos figuras siguientes podemos aplicar el teorema de Tales.
geometria plana
Sean d y d' dos secantes que se cortan en el punto A. Sean B y M dos puntos de la recta diferentes de A, y sean C y N dos puntos de la recta d' también distintos de A.
Si las rectas BC y MN son paralelas, entonces se cumple que: geometria plana
Recíprocamente, si los puntos AM y B están alineados en el mismo orden que los puntos AN y C, y si ejercicios geometria plana, entonces las rectas BC y MN son paralelas.

IV. Propiedad de los ángulos inscritos en una circunferencia

En la figura siguiente, los ángulos ejercicios geometria planaejercicios geometria planaproblemas de geometria planason ángulos inscritos en la circunferencia de centro ya que sus vértices están sobre ella y sus lados la cortan. Los ángulos ejercicios geometria planaejercicios geometria planaforman el arco AB que pasa por el punto J, mientras que el ángulo problemas de geometria planaforma el arco AB que pasa por el punto I. Al ángulo problemas de geometria planase le llama ángulo central.
problemas de geometria plana
Recuerda la siguiente propiedad: ángulos inscritos en la misma circunferencia que determinan el mismo arco tienen la misma amplitud, son iguales. En la figura anterior, estos ángulos son ejercicios geometria planaproblemas de geometria plana. Además de eso, su amplitud es la mitad de la del ángulo central que determina el mismo arco (en la figura anterior, este es el ángulo problemas de geometria plana). Debemos tener cuidado porque los ángulos ejercicios geometria planaproblemas de geometria planano tienen el mismo tamaño (esos dos ángulos no forman el mismo arco AB, aunquelos puntos de corte con la circunferencia sean A y B).
Recuerda
—El teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
—Rectas paralelas y una secante forman ángulos correspondientes iguales, y alternos internos y externos también iguales.
—De acuerdo con el teorema de Tales, si d y d' son dos rectas secantes que se cortan en A, siendo B y M dos puntos de la recta d distintos de A, y siendo C y N dos puntos de la recta d' también distintos de A, y si las rectas BC y MN son paralelas, entonces se cumple: ejercicios geometria plana.
—Ángulos inscritos en la misma circunferencia que forman el mismo arco son iguales. Además de eso, su amplitud es la mitad de la del ángulo central que determina el mismo arco.