Ecuación vectorial y traslación

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Ecuación vectorial y traslación

Se puede transformar un punto mediante dos traslaciones sucesivas.
¿Cómo podemos usar esta transformación para definir la suma de dos vectores?
Además, ¿cómo construimos la suma de dos vectores cualesquiera?

I. Composición de dos traslaciones
Observemos la figura 1.
ecuacion vectorial
Sea M un punto del plano, y ecuacion vectorialecuaciondos vectores cualesquiera; M' es la imagen de M por la traslación de vector ecuacion vectorialM'' es la imagen de M' por la traslación de vector ecuacion.
Por tanto, M'' es la transformación del punto M por dos traslaciones sucesivas: la traslación de vector ecuacion vectorial, y después la traslación de vector ecuacion. Es lo que llamamos composición de estas dos traslaciones.
Así lo construimos:
Sean ecuaciones vectorialestraslaciones mediante una ecuaciones vectorialdos vectores que representan a ecuacion vectorialecuacion;para construir la imagen M', dibujamos un paralelogramo ABM'M tal que traslacion mediante ecuacion vectorialM' es pues la imagen de M por la traslación de vector ecuacion vectorial de la rectao vector ecuacion vectorial.
Para construir M'', dibujamos un paralelogramo BCM''M' tal que traslacion mediante ecuacion vectorial ; M'' es entonces la imagen de M' por la traslación de vector traslaciones mediante una ecuaciones vectorialo vector ecuacion.
traslacion mediante ecuacion vectorial
Podemos demostrar ahora que ACM''M es un paralelogramo.
Hemos construido los dos paralelogramos ABM'M y BCM''M'. Como los lados opuestos de un paralelogramo son paralelos y de igual longitud, tenemos:
AM || BM'AM = BM'BM' || CM'' y BM'CM''.
Y de aquí deducimos que: AM || CM'' y AM = CM''.
El cuadrilátero ACM''M tiene dos lados paralelos que tienen la misma longitud, por tanto, es un paralelogramo, y M'' es entonces la imagen de M por la traslación de vector traslacion mediante ecuacion vectorial.
Propiedad: transformar un punto M por dos traslaciones sucesivas de vectores ecuacion vectorial de la rectatraslacion mediante ecuacion vectoriales equivalente a transformar el punto por la traslación de vector traslacion mediante ecuacion vectorial.

II. Suma de dos vectores
1. Definición
Al vector traslacion mediante ecuacion vectorialse la llama vector suma de los vectores ecuacion vectorial de la rectatraslacion mediante ecuacion vectorial. Podemos escribir: traslacion mediante ecuacion vectorialecuacion vectorial de la rectatraslacion mediante ecuacion vectorial.
traslacion mediante ecuacion vectorial
La propiedad demostrada en el apartado I se puede enunciar de nuevo de esta forma: la composición de la traslación de vector ecuacion vectorialy la traslación de vector ecuaciones una traslación de vector ecuacion vectorialvectorial.
2. Propiedades de la suma de dos vectores
Propiedad 1: sean traslación vectorialvectorialdos vectores cualesquiera. Entonces traslación vectorialvectorialvectorialtraslación vectorial.
Esta propiedad se ilustra en la figura 4, en la que se ha dibujado el paralelogramo ABCD en el que ecuacion vectorial de la rectatraslación vectorialtraslacion mediante ecuacion vectorialvectorial. Podemos comprobar que traslación vectorialvectorialecuacion vectorial de la rectatraslacion mediante ecuacion vectorialtraslacion mediante ecuacion vectorial, y vectorialtraslación vectorialtraslacion mediante ecuacion vectorialtraslacion mediante ecuacion vectorialtraslacion mediante ecuacion vectorial, es decir, traslación vectorialvectorialecuaciones vectorialestraslación vectorial.
traslacion mediante ecuacion vectorial
Propiedad 2: suma de dos vectores opuestos.
ecuacion vectorial de la rectatraslacion mediante ecuacion vectorialrepresentan dos vectores opuestos; podemos entonces escribir: ecuacion vectorial de la rectatraslacion mediante ecuacion vectorialtraslacion mediante ecuacion vectorial.
traslacion mediante ecuacion vectorialrepresenta un vector de longitud cero, es decir, su módulo es cero, traslacion mediante ecuacion vectorial. A este vector se le llama vector nulo, y se representa por 0 o traslacion mediante ecuacion vectorial. Este es el único vector que no tiene dirección ni sentido. El vector nulo se representa por un punto.
En resumen, la suma de dos vectores opuestos es igual al vector nulo.

III. Construir la suma de dos vectores
1. Usando un triángulo (regla del polígono)
Sean traslación vectorialecuaciones vectorialesdos vectores, representados respectivamente por ecuacion vectorial de la rectatraslacion mediante ecuacion vectorial.
Para representar la suma traslación vectorialecuaciones vectoriales, dibujamos un vector que represente a ecuaciones vectorialescon origen en B, que llamaremos traslacion mediante ecuacion vectorial. Para ello, construimos el paralelogramo BEDC.
Tendremos entonces que traslación vectorialecuaciones vectorialesecuacion vectorial de la rectatraslacion mediante ecuacion vectorialtraslacion mediante ecuacion vectorialy de esa forma traslacion mediante ecuacion vectoriales un vector que representa al vector traslación vectorialecuaciones vectoriales.
traslacion mediante ecuacion vectorial
2. Usando un paralelogramo (regla del paralelogramo)
Sean traslación vectorialecuaciones vectorialesdos vectores cualesquiera. Supongamos que los vectores que los representan, traslaciones mediante una ecuaciones vectorialtraslacion mediante ecuacion vectorial, tienen elmismo origen A.
Construimos el paralelogramo ABDC; tendremos que: traslación vectorialecuaciones vectorialestraslaciones mediante una ecuaciones vectorialtraslacion mediante ecuacion vectorial. Como traslacion mediante ecuacion vectorialtraslacion mediante ecuacion vectorial, ya que ABDC es un paralelogramo, resulta que: ecuacionecuaciones vectorialestraslaciones mediante una ecuaciones vectorialtraslacion mediante ecuacion vectorialtraslacion mediante ecuacion vectorial.
Así que el vector ecuacionecuaciones vectorialesqueda representado por el traslacion mediante ecuacion vectorial.
traslacion mediante ecuacion vectorial