Coseno de un angulo





Coseno de un angulo

Matematicas : Geometria-trigonometria


coseno de un angulo

 

Sea uno de los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo. Para ese ángulo, cuya amplitud tiene un determinado valor, el cociente o razón entre su cateto contiguo o adyacente y la hipotenusa del triángulo es siempre la misma. A esa razón la llamamos coseno de dicho ángulo.

Pero, ¿qué utilidad tiene el coseno de un ángulo?

 

I. Coseno de un ángulo agudo

1. Definición

Sea coseno de un anguloun triángulo rectángulo y coseno de un angulosu ángulo recto. coseno de un anguloes el coseno del ángulo agudo teorema del coseno.

Escribimos: teorema del coseno(para memorizarlo fácilmente, podemos escribir: teorema del coseno, donde “cateto contiguo” significa ‘el lado contiguo o adyacente al ángulo  y que no es la hipotenusa’).

Nota: el coseno del ángulo  depende solamente de la amplitud del ángulo. Para convencerte, analiza la figura siguiente.

teorema del coseno

teorema del cosenoes un ángulo agudo. coseno de un anguloy teorema del cosenoson, respectivamente, los ángulos rectos de los triángulos coseno de un anguloy teorema del coseno.

Como las líneas CB y C'B' son paralelas, podemos aplicar el teorema de Tales, de manera que: teorema del coseno.

Si intercambiamos AB y AC', tenemos: teorema del coseno.

Se puede ver que la razón coseno de un angulono depende de la posición que ocupa el punto C sobre la semirrecta Ay. Por tanto, se puede calcular dicho cociente referido a cualquier triángulo rectángulo coseno de un anguloque tenga el punto C sobre la semirrecta Ay, el punto B sobre la semirrecta Ax y su ángulo recto sea coseno de un angulo.

A dicho cociente se le llama coseno del ángulo agudo coseno.

 

2. Propiedades

El valor del coseno de un ángulo agudo siempre está comprendido entre 0 y 1 porque la hipotenusa de un triángulo rectángulo es el mayor de sus tres lados.

Algunos valores particulares del coseno son:

coseno

 

II. Aplicaciones

1. Calcular longitudes

Ejemplo: sea cosenoun triángulo rectángulo y cosenosu ángulo recto. Con las longitudes dadas en centímetros, ST = 7 y coseno.

Queremos hallar los valores de RS y RT aproximados a las décimas, es decir, a 0,1 cm.

coseno

Solución: en el triángulo coseno, cosenoes su ángulo recto, de manera que podemos escribir:

coseno

Sustituyendo resulta:

ley del coseno

Despejando SR tenemos: ley del coseno.

Si utilizamos una calculadora científica hemos de:

—asegurarnos de que la calculadora esté en modo grados (degree);

—teclear la secuencia: 7 ley del coseno35 ley del cosenofuncion coseno(o esta otra: 7 ley del cosenoley del coseno35 funcion coseno). En la pantalla aparecerá el resultado 5,73…

Redondeando a 0,1 cm, el segmento SR mide 5,7 cm.

Para hallar RT, podríamos usar el teorema de Pitágoras, pero obtendríamos un valor inexacto, ya que solo disponemos de un valor aproximado de SR.

En vez de eso, vamos a calcular la amplitud del ángulo funcion coseno. Puesto que funcion cosenoy funcion cosenoson complementarios, trigonometria.

Por la misma razón que antes, se tendrá que:

trigonometria

De donde trigonometria.

Aproximando a 0,1 cm, se obtiene que el cateto RT mide 4,0 cm (a veces se deja el 0 para recordar que el resultado se ha aproximado a 0,1 cm).

 

2. Calcular ángulos

Ejemplo: sea trigonometriaun triángulo rectángulo, con su ángulo recto en G y con las longitudes dadas en centímetros, FG = 8 y FH = 11; queremos hallar cuánto mide el ángulo trigonometria(aproximando a 0,1°).

trigonometria

Solución: como el triángulo trigonometriaes rectángulo en G, podemos escribir: trigonometria

Sustituyendo resulta:

trigonometria

Así pues, el problema es hallar cuánto vale un ángulo del que conocemos lo que vale su coseno.

Utilizando una calculadora científica hemos de:

—asegurarnos de que la calculadora esté en modo grados (degree);

—teclear la secuencia: (8 trigonometria11) coseno anguloley del cosenofuncion coseno(o esta otra: trigonometrialey del coseno(8 trigonometria11) funcion coseno).

En la pantalla aparecerá el resultado 43,34…

Redondeando a 0,1º, el ángulo trigonometriamide 43,3°.

Notas:

—en algunas calculadoras, la tecla coseno anguloviene reemplazada por esta otra: coseno angulo;

—en otras calculadoras, las teclas coseno anguloy funcion coseno(o coseno anguloy funcion coseno) vienen reemplazadas por una única tecla: coseno angulo.