Coordenadas de un vector y el punto medio de un segmento

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Coordenadas de un vector y el punto medio de un segmento

Las coordenadas de un vector coordenadas de un vectorpueden ser interpretadas mediante una traslación en la que escogemos coordenadas de un vectorcomo representante de este vector. ¿Qué relaciones asocian las coordenadas de coordenadas de un vectory las de A y B? A partir de estas relaciones, ¿cómo podemos calcular las coordenadas del punto medio de un segmento si conocemos sus extremos?

I. Calcular las coordenadas de un vector
1. La fórmula de cálculo
Sea un sistema de coordenadas cartesianas Oxy; si tenemos dos puntos A (xA, yA) y B (xByB) cualesquiera, las coordenadas del vector coordenadas de un vectorvienen dadas por la fórmula coordenadas de un vector(xB-xAyB-yA).
Ejemplo: Si tenemos los puntos A (2, –4) y B (–3, –1), calcular las coordenadas del vector coordenadas de un vector.
Aplicando la fórmula, podemos escribir coordenadas de un vector(-3-2, -1-(-4)), de manera que las coordenadas de coordenadas de un vectorson (-5, 3).
Podemos comprobar estas coordenadas directamente sobre la gráfica restando las coordenadas de los puntos A y B:
coordenadas de un vector
2. Aplicación
Enunciado: Sea un sistema de coordenadas cartesianas Oxy; dibuja los puntos E (–3, 1), F (3, 5), G (4, 2) y (–2, –2), y comprueba que el cuadrilátero EFGH es un paralelogramo.
coordenadas vectoriales
Solución: simplemente hemos de demostrar la siguiente igualdad vectorial: coordenadas vectoriales=  coordenadas vectoriales. Para hacerlo, calcularemos las coordenadas de estos dos vectores.
coordenadas vectoriales(3-(-3), 5-1), de forma que coordenadas vectoriales(6, 4).
coordenadas vectoriales(4-(-2), 2-(-2)), de manera que coordenadas vectoriales(6, 4).
Los vectores coordenadas vectorialescoordenadastienen las mismas coordenadas.
Aceptamos que dos vectores con las mismas coordenadas son iguales.
Por consiguiente, coordenadas vectoriales=  coordenadas, de forma que el cuadrilátero EFGH es un paralelogramo.

II. Calcular las coordenadas del punto medio de un segmento
1. La fórmula de cálculo
A (xAyA) y B (xByB) son dos puntos cualesquiera en un sistema de coordenadas cartesianas Oxy. Si llamamos M al punto medio del segmento AB, entonces:
coordenadas
Demostración: si M es el punto medio de AB, entonces coordenadasvectoriales. Los vectores coordenadasvectorialestienen la misma dirección, de manera que AM y B están alineados. Ambos tienen el mismo sentido y son de la misma longitud, puesto que MA = MB. Por consiguiente, estos dos vectores son iguales.
imagenes vectoriales
Llamemos a las coordenadas de M (x, y), y escribamos las coordenadas de los vectores coordenadasvectoriales:
vectoriales(– xA, y – yA) y vectoriales(xB – x, yB– y).
Puesto que los vectores vectorialesvectorialesson iguales, podemos escribir que sus coordenadas son iguales. Por lo tanto, hemos encontrado que – xA = xB – – yA = yB – y.
Estas dos ecuaciones son equivalentes a:
2= xA+ xB y 2= yA+ yB, de manera que imagenes vectorialesimagenes vectoriales.
Por consiguiente, tenemos: coordenadas.
EjemploU (–3, 2) y T (5, 4) son dos puntos cualesquiera en un sistema de coordenadas cartesianas Oxy. Calcular las coordenadas del punto medio H del segmento UT.
Aplicando la fórmula anterior, podemos escribir: imagenes vectoriales, a partir de la cual encontramos que H (1, 3).
Podemos verificar estos cálculos representando los puntos en el sistema de coordenadas.
imagenes vectoriales
2. Aplicación
La fórmula para calcular las coordenadas del punto medio de un segmento nos ofrece una vía alternativa para demostrar que un cuadrilátero es un paralelogramo.
Enunciado: Sea un sistema de coordenadas cartesianas Oxy; dibuja los puntos K (–4, –1), L (–2, 3), M (6, 5) y N (4, 1), y demuestra que el cuadrilátero KLMN es un paralelogramo.
imagenes vectoriales
Solución: vamos a demostrar que los segmentos KM y LN tienen el mismo punto medio. Para hacerlo, llamaremos P al punto medio de KM y R al punto medio de LN y calcularemos las coordenadas de estos dos puntos:
imagenes vectoriales, por lo tanto P (1, 2).
imagenes vectoriales, por lo tanto R (1, 2).
Como los puntos P y R tienen las mismas coordenadas, son coincidentes. A partir de aquí podemos formular que los segmentos KM y LN tienen el mismo punto medio.
Las diagonales del cuadrilátero KLMN tienen el mismo punto medio, por consiguiente, este cuadrilátero es un paralelogramo. Ver artículo Relacionar paralelogramos e igualdades vectoriales.