Congruencia de triángulos

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Congruencia de triángulos

Si transformamos un triángulo en otro, de manera que pueda ser superpuesto a aquél, y si estas series de transformaciones se hacen sin ninguna alteración de las longitudes de los lados de ambos triángulos, entonces podemos decir que los dos triángulos son iguales.
La idea de triángulos iguales es diferente de la idea de triángulos semejantes: dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes tienen la misma amplitud.

I. ¿Cómo podemos comprobar que dos triángulos son iguales?

Dos triángulos son iguales si pueden ser superpuestos mediante traslación o rotación o mediante un giro (simetría axial o central).
Además, si los triángulos semejanza de triangulossemejanza de triangulosson iguales es posible encontrar una de estas transformaciones —o una serie de ellas— tal que la imagen del triángulo semejanza de triangulos, fuera el triángulo semejanza de triangulos.
Para comprobar que dos triángulos son idénticos, usaremos uno de estos tres casos de igualdad que definimos a continuación.
semejanza de triangulos
Habiendo comprobado que dos triángulos son idénticos, podemos probar fácilmente que las longitudes de los lados y/o las amplitudes de los ángulos son iguales.
Ejemplo:
semejanza de trianguloses un triángulo escaleno y ABDE y BCFG son cuadrados. Queremos demostrar que los segmentos CD y AG son de la misma longitud.
semejanza de triangulos
Sabemos que:
AB y BD son dos lados del cuadrado ABDE, entonces AB = BD;
BC y BG son dos lados del cuadrado BCFG, entonces BC = BG;
además, semejanza de triangulos.
Los triángulos semejanza de triangulossemejanza de triangulostienen un ángulo del mismo tamaño entre dos lados respectivos de la misma longitud; por tanto, de acuerdo con el segundo caso de igualdad de triángulos, los dos triángulos son iguales.
Deducimos que los lados CD y AG son de la misma longitud.
Notaremos que la transformación que convierte el triángulo congruencia de triangulosen el triángulo semejanza de trianguloses un giro de 90º en sentido contrario a las agujas del reloj, en torno a un centro situado en B.

II. ¿Cómo podemos probar que dos triángulos son semejantes?

Definimos triángulos semejantes (o con la misma forma) si sus ángulos correspondientes son de la misma amplitud.
Para demostrar que dos triángulos son semejantes, solo tenemos que comprobar que dos de sus ángulos correspondientes son de la misma amplitud. Dado que la suma de los ángulos de un triángulo es 180º, no necesitamos demostrar que el tercer ángulo es igual.
Ejemplo:
ABC y D son cuatro puntos de una circunferencia, y AC corta a BD en I. Queremos comprobar que los triángulos congruencia de trianguloscongruencia de triangulosson semejantes.
congruencia de triangulos
Los ángulos inscritos congruencia de trianguloscongruencia de trianguloscomparten el mismo arco BC, por lo que ambos tienen la misma amplitud; y la misma igualdad es aplicable a los ángulos inscritos congruencia de trianguloscongruencia de triangulos.
Los dos triángulos congruencia de trianguloscongruencia de triangulostienen dos ángulos respectivos iguales. Por lo tanto, son semejantes.
Nota: para demostrar que dos triángulos son semejantes, también podemos usar el inverso del teorema de los triángulos semejantes (ver más abajo): si dos triángulos tienen sus lados correspondientes proporcionales en longitud, entonces son semejantes.

III. ¿Qué podemos probar usando triángulos semejantes?

Si dos triángulos son semejantes, las longitudes de sus lados correspondientes son proporcionales. Este teorema básico nos permite probar relaciones de equivalencia.
Ejemplo 1:
congruencia de triangulos
semejanza de triangulossemejanza triangulosson dos triángulos semejantes. Si llamamos k a la razón de las longitudes de los lados de estos triángulos, tendremos:
semejanza triangulos
Si k > 1, k es un coeficiente de agrandamiento; si k < 1, k es un coeficiente de reducción. La razón o ratio de las áreas de los triángulos semejanza de triangulossemejanza de trianguloses entonces k2.
Ejemplo 2:
ABC y D son cuatro puntos de una circunferencia, y AC corta a BD en I. Así mismo, ID = 12 e IB = 36. Queremos comparar las áreas de los triángulos semejanza triangulossemejanza triangulos.
congruencia de triangulos
Ya hemos comprobado que estos dos triángulos son semejantes (ver el ejemplo del apartado II), por lo que sus lados son proporcionales, esto es:
semejanza triangulos
La razón del área del triángulo semejanza triangulosrespecto del área del triángulo semejanza trianguloses igual a 9.
Así: área semejanza triangulosk2 × área semejanza triangulos, esto es: área semejanza triangulos = 9 × área semejanza triangulos.
Resumen
—Si dos triángulos tienen un lado de la misma longitud, adyacente a dos ángulos respectivos iguales, entonces son iguales.
—Si dos triángulos tienen un ángulo igual, formado por dos lados respectivos de la misma longitud, los triángulos son iguales.
—Si los tres lados respectivos de dos triángulos son de la misma longitud, entonces los triángulos son iguales.
—Dos triángulos son semejantes si y solo si las longitudes de sus lados correspondientes son proporcionales.
—Si llamamos k a la razón —ratio— de las longitudes de los lados correspondientes de dos triángulos semejantes, entonces la razón de sus áreas es k2.