Cálculos vectoriales y sus coordenadas





Cálculos vectoriales y sus coordenadas

Matematicas : Geometria-vectores

cálculos vectoriales y sus coordenadas

 

Utilizando números reales, podemos asociar a cada par de valores (x, y) un punto del plano en un sistema de referencia Oxy.

Recíprocamente, para cada punto del plano podemos hallar los dos valores x e y, que son sus coordenadas en el sistema de referencia elegido.

Definiendo un sistema de referencia podemos calcular las coordenadas de un vector y efectuar diferentes tipos de análisis vectorial para resolver problemas de geometría.

 

I. ¿Cómo situamos un punto en un plano?

Para definir un sistema de referencia es necesario conocer las coordenadas de tres puntos que no estén alineados. En general, hablamos del sistema de referencia Oxy, donde O es el origen, la recta Ox es el eje horizontal y la recta Oy es el otro eje.

Usando un sistema de referencia, asociamos a cada punto del plano un par de números reales trazando rectas paralelas a los ejes que se crucen en dicho punto.

coordenadas vectoriales

Por ejemplo, hallemos las coordenadas del punto A de la figura anterior.

Al punto donde se cruzan Ox y la recta paralela a Oy que pasa por A lo llamamos Ax, y al punto en que Oy y la recta paralela a Ox que pasa por A se cruzan, lo llamamos Ay.

Para hallar las coordenadas de A:

—para la coordenada x de A, tomamos el valor del punto Ax representado sobre el eje Ox con origen en O;

—para la coordenada y de A, tomamos el valor del punto Ay representado sobre el eje Oy con origen en O,

En este caso, las coordenadas del punto A son (3, 2).

Notas:

—Si los ejes son perpendiculares se trata de un sistema de referenciaortogonal.

—Si los ejes son perpendiculares y si las unidades elegidas sobre ambos ejes miden igual, entonces Oxy es un sistema de referencia ortonormal o plano xy.

 

II. ¿Cómo definimos un vector? ¿Cuándo son iguales dos vectores?

Dado un plano xy en el que se ha definido una unidad de longitud, un vector coordenadas vectorialesse caracteriza:

—por la dirección de la recta AB;

—por su sentido: de A hacia B;

—y por su longitud o módulo: la distancia d(A, B).

El vector coordenadas vectorialeses igual al vector coordenadas vectorialessi los dos vectores tienen:

—la misma dirección, es decir, la recta AB es paralela a la recta CD;

—el mismo sentido, lo que significa que los puntos B y D están en los extremos de la recta AC;

—la misma longitud, lo que significa que d(A, B) = d(C, D).

Dicho de otra forma coordenadas vectorialessi y solo si ABDC es un paralelogramo.

Por tanto:

coordenadassi y solo si la imagen del punto C por la traslación de A a B es D.

calculos vectorialessi y solo si los segmentos AD y BC tienen el mismo punto medio.

 

III. Operaciones con vectores

La suma de dos vectores es otro vector que puede construirse de dos maneras:

—usando la regla del polígono a partir de un punto A: calculos vectoriales;

calculos vectoriales

—usando la regla del paralelogramo: calculos vectoriales.

calculos vectoriales

Nota: la regla del polígono también se usa para descomponer un vector en suma de vectores. Si A y B son dos puntos dados, para cualquier punto C, tenemos: calculos vectoriales.

Producto de un vector por un número real.

Sea calculos vectorialesun vector distinto de cero y k un número real también distinto de cero, el vector ejercicios de calculo vectorialse define así:

ejercicios de calculo vectorialtiene la misma dirección que calculos vectoriales;

ejercicios de calculo vectorialtiene el mismo sentido que calculos vectorialessi k es positivo, y sentido opuesto si k es negativo. Si k = -1, entonces ejercicios de calculo vectorial, que resulta ser el vector opuesto a calculo vectorial.

Vectores colineales son aquellos que tienen la misma dirección. Los vectores calculo vectorialy ejercicios de calculo vectorialson colineales si y solo si hay un número real k tal que ejercicios de calculo vectorial.

ejercicios de calculo vectorial

IV. ¿Cuál es la base del análisis vectorial?

En un sistema de coordenadas cartesianas Oxy, a cualquier vector calculo vectorialse le asocia un único punto M tal que ejercicios de calculo vectorial. El punto M es la imagen del origen O mediante una traslación de vector calculo vectorial.

Por definición, las componentes de calculo vectorialson las de M. Si M tiene de coordenadas ejercicios de calculo vectorial, el vector calculo vectorialtiene las componentes calculo vectorial ejercicios, lo cual se expresa así: calculo vectorial ejercicios. Por ejemplo, en la gráfica siguiente, ejercicios calculo vectorial.

ejercicios calculo vectorial

Se deduce que dos vectores calculo vectorial ejerciciosy ejercicios calculo vectorialson iguales si y solo si tienen las mismas coordenadas: vectorialy vectorial.

Es fácil deducir las componentes de cualquier vector coordenadas vectorialesconocidas las coordenadas de los puntos A y B. En un sistema de coordenadas cartesianas, si A tiene de coordenadas vectorialy B tiene de coordenadas vectorial, entonces las del vector coordenadas vectorialesserán coordenadas.

Si calculo vectorialy ejercicios de calculo vectorialson dos vectores de coordenadas calculo vectorial ejerciciosy ejercicios calculo vectorial, entonces:

—la suma de los dos vectores calculo vectorial ejerciciosy ejercicios calculo vectoriales el vector coordenadasde coordenadas coordenadas;

—el producto del vector calculo vectorial ejerciciospor un número real k es el vector coordenadasde coordenadas coordenadas.

Sean dos vectores de coordenadas calculo vectorial ejerciciosy ejercicios calculo vectorial.

Si calculo vectorialy ejercicios de calculo vectorialson colineales se cumplen las dos ecuaciones siguientes:

ejercicios de calculo vectorialsi y solo si coordenadasy coordenadas.

Una forma más sencilla de expresar esta propiedad es la regla de la multiplicación en cruz:

ejercicios de calculo vectorialy ejercicios de calculo vectorialson colineales si y solo si coordenadas.

Por ejemplo, los vectores coordenadasy coordenadasson colineales porque coordenadas.

Si A y B son dos puntos cuyas coordenadas son vectorialy vectorial, respectivamente, el módulo del vector coordenadas vectorialeses igual a:

coordenadas.

Recuerda

—Un sistema de referencia queda definido por tres puntos no alineados. En dicho sistema, a cada punto del plano le asociamos dos números reales, sus coordenadas, dibujando rectas paralelas a los ejes que pasen por dicho punto.

—En un sistema de referencia en el que se ha definido la unidad sobre cada eje, un vector coordenadas vectorialesse caracteriza por tres propiedades: su dirección, su sentido y su módulo o longitud.

—La suma de dos vectores calculo vectorial ejerciciosy ejercicios calculo vectoriales el vector coordenadasde coordenadas coordenadas. El producto del vector calculo vectorial ejerciciospor un número real k es el vector coordenadasde coordenadas coordenadas.

—Los vectores calculo vectorial ejerciciosy ejercicios calculo vectorialson colineales si y solo si coordenadas.