Teoremas de geometría plana

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Teoremas de geometría plana


El teorema de Pitágoras se aplica a cualquier triángulo rectángulo. El teorema de Tales se aplica a cualquier figura que tenga líneas rectas paralelas cortadas por dos rectas secantes. Para resolver cualquier problema de geometría plana, tenemos que asociarlo con una figura elemental y basarnos en sus propiedades.

I. Propiedades de un triángulo rectángulo

Para hallar las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, usamos el teorema de Pitágoras, que establece que: en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
Teoremas de geometría plana 
Por ejemplo, en el triángulo rectángulo Teoremas de geometría planacon ángulo recto en el vértice ABC2= AB2+ AC2.
Recíprocamente, si queremos demostrar que el triángulo Teoremas de geometría planaes rectángulo con ángulo recto en el vértice A, comprobamos que se cumple la relación entre sus lados: BC2= AB2+ AC2.
Para relacionar los ángulos y los lados de un triángulo rectángulo, usamos las siguientes fórmulas trigonométricas: 
Teoremas de geometría plana 
También nos debe resultar familiar la relación Teoremas de geometría plana.
Una última propiedad que debemos considerar es que para un triángulo rectángulo inscrito en una circunferencia:
Teoremas de geometría plana 
el centro de la circunferencia es el punto medio de la hipotenusa. Por tanto, para demostrar que un triángulo es rectángulo, basta con probar que se puede inscribir en una semicircunferencia. 
II. Propiedades de dos rectas paralelas cortadas por una secante 
En la figura siguiente, las rectas d y d' y la secante s forman:
—pares de ángulos correspondientes, cuyos lados son rectas paralelas, por ejemplo, el par de ángulos de azul; 
—pares de ángulos alternos internos, dispuestos entre las dos rectas paralelas alternativamente a ambos lados de la recta secante, por ejemplo, el par de ángulos de naranja;
—pares de ángulos alternos externos, dispuestos hacia el exterior de las rectas paralelas alternativamente a ambos lados de la recta secante, por ejemplo, el par de ángulos de verde.
Teoremas de geometría plana 
Puesto que las rectas d y d' son paralelas, cada uno de estos pares de ángulos son iguales. Así, los ángulos correspondientes (de azul) tienen la misma amplitud , los ángulos alternos internos (de naranja) tienen la misma amplitud Teoremas de geometría planay los alternos externos (de verde) tienen la misma amplitud Teoremas de geometría plana.
Recíprocamente también se cumple este razonamiento: si los pares de ángulos correspondientes formados por dos rectas d y d' y una secante s son iguales, entonces las rectas d y d' son paralelas. 
III. Propiedades de dos rectas paralelas cortadas por dos secantes 
En las dos figuras siguientes podemos aplicar el teorema de Tales.
Teoremas de geometría plana 
Sean d y d' dos secantes que se cortan en el punto A. Sean B y M dos puntos de la recta diferentes de A, y sean C y N dos puntos de la recta d' también distintos de A.
Si las rectas BC y MN son paralelas, entonces se cumple que: Teoremas de geometría plana
Recíprocamente, si los puntos AM y B están alineados en el mismo orden que los puntos AN y C, y si Teoremas de geometría plana, entonces las rectas BC y MN son paralelas. 
IV. Propiedad de los ángulos inscritos en una circunferencia 
En la figura siguiente, los ángulos Teoremas de geometría planaTeoremas de geometría planaTeoremas de geometría planason ángulos inscritos en la circunferencia de centro ya que sus vértices están sobre ella y sus lados la cortan. Los ángulos Teoremas de geometría planaTeoremas de geometría planaforman el arco AB que pasa por el punto J, mientras que el ángulo Teoremas de geometría planaforma el arco AB que pasa por el punto I. Al ángulo Teoremas de geometría planase le llama ángulo central.
Teoremas de geometría plana 
Recuerda la siguiente propiedad: ángulos inscritos en la misma circunferencia que determinan el mismo arco tienen la misma amplitud, son iguales. En la figura anterior, estos ángulos son Teoremas de geometría planaTeoremas de geometría plana. Además de eso, su amplitud es la mitad de la del ángulo central que determina el mismo arco (en la figura anterior, este es el ángulo Teoremas de geometría plana). Debemos tener cuidado porque los ángulos Teoremas de geometría planaTeoremas de geometría planano tienen el mismo tamaño (esos dos ángulos no forman el mismo arco AB, aunquelos puntos de corte con la circunferencia sean A y B).
Recuerda 
—El teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. 
—Rectas paralelas y una secante forman ángulos correspondientes iguales, y alternos internos y externos también iguales. 
—De acuerdo con el teorema de Tales, si d y d' son dos rectas secantes que se cortan en A, siendo B y M dos puntos de la recta d distintos de A, y siendo C y N dos puntos de la recta d' también distintos de A, y si las rectas BC y MN son paralelas, entonces se cumple: Teoremas de geometría plana.
—Ángulos inscritos en la misma circunferencia que forman el mismo arco son iguales. Además de eso, su amplitud es la mitad de la del ángulo central que determina el mismo arco.