Representar traslaciones mediante vectores





Representar traslaciones mediante vectores

Matematicas : Geometria

Representar traslaciones mediante vectores


Representar traslaciones mediante vectores
El concepto de traslación, ilustrado en la figura 1, nos permite introducir el concepto de vector. Los vectores se usan en matemáticas, y también en física para representar, por ejemplo, una fuerza o una velocidad.
¿Qué relación hay entre las traslaciones y los vectores?

I. Definición y notación de un vector

En la figura 2, ABDC, CDFE, EFHG y GHJI son paralelogramos.
Representar traslaciones mediante vectores
Podemos decir que:
—la traslación que transforma A en B también transforma C en D;
—la traslación que transforma C en D también transforma E en F;
—la traslación que transforma E en F también transforma G en H;
—la traslación que transforma G en H también transforma I en J.
Así pues, la traslación que transforma A en B, C en D, E en F, G en H, e I en J es la misma.
Y podemos decir que los pares de puntos (AB), (CD), (EF), (GH) y (IJ) representan al mismo vector.
Escribimos Representar traslaciones mediante vectores= Representar traslaciones mediante vectores= Representar traslaciones mediante vectores= Representar traslaciones mediante vectores= Representar traslaciones mediante vectores, y Representar traslaciones mediante vectoresse lee “vector AB”.
También podemos representar el vector con una única letra minúscula con una flecha encima o en letra negrita, sin flecha, por ejemplo, u o Representar traslaciones mediante vectores(tanto u como Representar traslaciones mediante vectoresse leen “vector u”), y decimos que Representar traslaciones mediante vectores, Representar traslaciones mediante vectores, Representar traslaciones mediante vectores, Representar traslaciones mediante vectorese Representar traslaciones mediante vectoresrepresentan todos a Representar traslaciones mediante vectores.
Podemos entonces escribir: Representar traslaciones mediante vectores= Representar traslaciones mediante vectores= Representar traslaciones mediante vectores= Representar traslaciones mediante vectores= Representar traslaciones mediante vectores= Representar traslaciones mediante vectores.
Los puntos A y B son el origen (o punto de aplicación) y el extremo del vector Representar traslaciones mediante vectores, respectivamente.
No hay que confundir los vectores Representar traslaciones mediante vectoresy Representar traslaciones mediante vectores, ya que son vectores opuestos.
Gráficamente, un vector se representa con una flecha, como podemos ver en la figura 3.
Representar traslaciones mediante vectores
Nota: un vector se puede representar infinitas veces, en distintas posiciones (por ejemplo, el vector Representar traslaciones mediante vectoresde la figura anterior, aparece representado cinco veces).

II. Vectores y traslaciones

Definición: la traslación que transforma A en B se llama traslación de vector Representar traslaciones mediante vectores.
Podemos decir que:
—si D es la imagen de C por una traslación de vector Representar traslaciones mediante vectores, entonces Representar traslaciones mediante vectores= Representar traslaciones mediante vectores;
—si Representar traslaciones mediante vectores= Representar traslaciones mediante vectores, entonces D es la imagen de C por una traslación de vector Representar traslaciones mediante vectores.
Ejemplo 1: una traslación transforma un punto R en otro punto P; el punto T es la imagen del punto O por esta misma traslación. ¿Cómo podemos expresar esto en una igualdad vectorial?
La traslación que transforma R en P también transforma O en T. Luego, por definición, tenemos que Representar traslaciones mediante vectores= Representar traslaciones mediante vectores.
Ejemplo 2: ¿qué traslación vendría definida por la igualdad vectorial Representar traslaciones mediante vectores= Representar traslaciones mediante vectores?
La traslación que transforma M en N también transforma W en Z, de manera que Z es la imagen de W por la traslación de vector Representar traslaciones mediante vectores.

III. Características de un vector

Observemos de nuevo la figura en la que Representar traslaciones mediante vectores, Representar traslaciones mediante vectores, Representar traslaciones mediante vectores, Representar traslaciones mediante vectorese Representar traslaciones mediante vectoresrepresentan al mismo vector Representar traslaciones mediante vectoresy tratemos de deducir las características de este vector.
Representar traslaciones mediante vectores
Las rectas AB, CD, EF, GH e IJ son paralelas entre sí, ya que los lados opuestos de un paralelogramo son paralelos. Por tanto, podemos decir que las rectas AB, CD, EF, GH e IJ tienen la misma dirección.
Decimos que esta es la dirección del vector Representar traslaciones mediante vectores.
Observemos el orden de los puntos en las parejas (AB), (C, D), (EF), (GH) y (IJ)). El dibujo nos permite decir que el sentido de A hacia B, de C hacia D, de E hacia F, de G hacia H o de I hacia J es el mismo: el que indican las flechas sobre las letras, Representar traslaciones mediante vectores, Representar traslaciones mediante vectores, Representar traslaciones mediante vectores, Representar traslaciones mediante vectorese Representar traslaciones mediante vectores. Este es el sentido del vector Representar traslaciones mediante vectores.
Finalmente, las longitudes de los segmentos AB, CD, EF, GH e IJ son iguales, ya que los lados opuestos de un paralelogramo son iguales. A la longitud común de los segmentos AB, CD, EF, GH e IJ se le llama magnitud o módulo del vector Representar traslaciones mediante vectores.
En resumen: un vector está caracterizado por su dirección, su sentido y su módulo.
Nota: solo hay un vector que no tiene dirección ni sentido: el vector nulo. El módulo de este vector es cero.