Representar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorial

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Representar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorial


Se puede transformar un punto mediante dos traslaciones sucesivas. 
¿Cómo podemos usar esta transformación para definir la suma de dos vectores? 
Además, ¿cómo construimos la suma de dos vectores cualesquiera? 
I. Composición de dos traslaciones
Observemos la figura 1.
Representar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorial 
Sea M un punto del plano, y Representar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorialRepresentar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorialdos vectores cualesquiera; M' es la imagen de M por la traslación de vector Representar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorialM'' es la imagen de M' por la traslación de vector Representar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorial.
Por tanto, M'' es la transformación del punto M por dos traslaciones sucesivas: la traslación de vector Representar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorial, y después la traslación de vector Representar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorial. Es lo que llamamos composición de estas dos traslaciones.
Así lo construimos:
Sean Representar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorialRepresentar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorialdos vectores que representan a Representar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorialRepresentar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorial;para construir la imagen M', dibujamos un paralelogramo ABM'M tal que Representar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorialM' es pues la imagen de M por la traslación de vector Representar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorialo vector Representar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorial.
Para construir M'', dibujamos un paralelogramo BCM''M' tal que Representar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorial ; M'' es entonces la imagen de M' por la traslación de vector Representar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorialo vector Representar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorial.
Representar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorial 
Podemos demostrar ahora que ACM''M es un paralelogramo.
Hemos construido los dos paralelogramos ABM'M y BCM''M'. Como los lados opuestos de un paralelogramo son paralelos y de igual longitud, tenemos:
AM || BM'AM = BM'BM' || CM'' y BM'CM''.
Y de aquí deducimos que: AM || CM'' y AM = CM''.
El cuadrilátero ACM''M tiene dos lados paralelos que tienen la misma longitud, por tanto, es un paralelogramo, y M'' es entonces la imagen de M por la traslación de vector Representar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorial.
Propiedad: transformar un punto M por dos traslaciones sucesivas de vectores Representar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorialRepresentar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectoriales equivalente a transformar el punto por la traslación de vector Representar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorial.
II. Suma de dos vectores
1. Definición
Al vector Representar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorialse la llama vector suma de los vectores Representar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorialRepresentar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorial. Podemos escribir: Representar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorialRepresentar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorialRepresentar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorial.
Representar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorial 
La propiedad demostrada en el apartado I se puede enunciar de nuevo de esta forma: la composición de la traslación de vector Representar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorialy la traslación de vector Representar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectoriales una traslación de vector Representar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorialRepresentar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorial.
2. Propiedades de la suma de dos vectores
Propiedad 1: sean Representar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorialRepresentar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorialdos vectores cualesquiera. Entonces Representar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorialRepresentar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorialRepresentar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorialRepresentar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorial.
Esta propiedad se ilustra en la figura 4, en la que se ha dibujado el paralelogramo ABCD en el que Representar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorialRepresentar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorialRepresentar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorialRepresentar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorial. Podemos comprobar que Representar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorialRepresentar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorialRepresentar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorialRepresentar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorialRepresentar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorial, y Representar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorialRepresentar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorialRepresentar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorialRepresentar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorialRepresentar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorial, es decir, Representar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorialRepresentar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorialRepresentar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorialRepresentar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorial.
Representar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorial 
Propiedad 2: suma de dos vectores opuestos.
Representar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorialRepresentar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorialrepresentan dos vectores opuestos; podemos entonces escribir: Representar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorialRepresentar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorialRepresentar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorial.
Representar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorialrepresenta un vector de longitud cero, es decir, su módulo es cero, Representar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorial. A este vector se le llama vector nulo, y se representa por 0 o Representar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorial. Este es el único vector que no tiene dirección ni sentido. El vector nulo se representa por un punto.
En resumen, la suma de dos vectores opuestos es igual al vector nulo.
III. Construir la suma de dos vectores
1. Usando un triángulo (regla del polígono)
Sean Representar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorialRepresentar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorialdos vectores, representados respectivamente por Representar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorialRepresentar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorial.
Para representar la suma Representar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorialRepresentar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorial, dibujamos un vector que represente a Representar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorialcon origen en B, que llamaremos Representar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorial. Para ello, construimos el paralelogramo BEDC.
Tendremos entonces que Representar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorialRepresentar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorialRepresentar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorialRepresentar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorialRepresentar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorialy de esa forma Representar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectoriales un vector que representa al vector Representar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorialRepresentar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorial.
Representar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorial 
2. Usando un paralelogramo (regla del paralelogramo)
Sean Representar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorialRepresentar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorialdos vectores cualesquiera. Supongamos que los vectores que los representan, Representar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorialRepresentar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorial, tienen elmismo origen A.
Construimos el paralelogramo ABDC; tendremos que: Representar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorialRepresentar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorialRepresentar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorialRepresentar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorial. Como Representar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorialRepresentar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorial, ya que ABDC es un paralelogramo, resulta que: Representar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorialRepresentar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorialRepresentar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorialRepresentar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorialRepresentar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorial.
Así que el vector Representar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorialRepresentar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorialqueda representado por el Representar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorial.
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