Dibujar la sección de una esfera

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Dibujar la sección de una esfera

Cuando cortamos una naranja por la mitad obtenemos dos secciones iguales. Si en lugar de realizar el corte por la mitad lo hacemos un poco más arriba, lo que obtenemos es un casquete esférico. El objetivo que buscamos es representar la sección de una esfera (la naranja) formada por un plano (creado por el trazo del cuchillo al cortar), esto es, la intersección de una esfera con un plano.


I. Los casos posibles 

Parece obvio que si el plano está muy distante de la esfera, ambos no se cortarán. El tamaño del círculo que se obtiene al cortar la esfera con un plano depende de la distancia del plano al centro de la esfera. En consecuencia, primero es necesario definir a qué vamos a llamar distancia de un plano a un punto. 
DefiniciónP es un plano y O un punto del espacio que no pertenece a PH es el punto de intersección de la recta L, perpendicular a P que pasa por el punto O, con el plano. La distancia OH se denomina distancia del punto O al plano P.
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NotaH es el punto de P más cercano a O.
Consideremos ahora una esfera con centro en O y radio r, y un plano P. El punto H queda definido como hemos hecho más arriba. Podemos decir que OH es la distancia que hay desde el plano P hasta el centro O de la esfera.
Para el estudio de la sección de la esfera por el plano P, podemos distinguir tres casos.
1. Cuando OH > r
La distancia que hay desde el plano P hasta la esfera es lo bastante grande como para que ambos no se corten, como podemos comprobar en la figura 2. En este caso, el plano y la esfera no tienen puntos en común. Se dice que el plano y la esfera son exteriores (sin puntos comunes).
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2. Cuando OH = r
En este caso, el punto H forma parte de la esfera, y es el único punto común entre la esfera y el plano (ver figura 3). Decimos que la esfera y el plano son tangentes (con un solo punto en común), de manera similar a lo que ocurre con una recta y una circunferencia que solo tienen un punto en común.
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3. Cuando OH < r
En este caso, el plano corta a la esfera. La intersección del plano y la esfera es un círculo con centro en H.
Si el plano corta a la esfera pasando por su centro, entonces la divide en dos mitades iguales llamadas semiesferas.
En cambio, si el plano corta a la esfera por otro lugar distinto del centro, entonces la superficie de la esfera queda dividida en dos partes desiguales denominadas casquetes esféricos.
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Nota: cuanto mayor sea la cercanía del plano P al centro O, mayor será el radio de la sección. En efecto, es posible calcular el radio de la sección si conocemos la distancia OH y el radio de la esfera. 

II. Secciones importantes de la esfera terrestre

En la figura 5, la Tierra aparece representada en forma de una esfera, donde los puntos N y S (los cuales son diametralmente opuestos) representan los polos norte y sur. La recta NS se denomina eje polar. Lo aprendido hasta ahora, nos permitirá apreciar que si cortamos la Tierra con unos planos específicos, nos encontraremos una serie de secciones muy usadas por los geógrafos.
—Si cortamos la Tierra con un plano perpendicular al eje polar, pasando por el centro de la esfera, la sección obtenida es un círculo máximo muy significativo de la Tierra: el ecuador. 
—Si cortamos la Tierra con un plano perpendicular al eje polar, sin pasar por el centro de la esfera, la sección obtenida es un paralelo. El trozo de superficie esférica que se encuentra comprendida entre dos paralelos se denomina zona esférica.
—Si cortamos la Tierra con un plano que contenga al eje polar, la sección obtenida es un círculo máximo, de diámetro NS, formado por dos semicírculos que reciben el nombre de meridianos. El trozo de superficie esférica que se encuentra limitado entre dos meridianos recibe el nombre de huso esférico.
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