Construir la imagen de un punto por una traslación

Articulos Recientes

Construir la imagen de un punto por una traslación


Si duplicamos una figura haciéndola deslizar a lo largo de una recta d, se dice que la figura así obtenida es la imagen de la figura inicial mediante una traslación.
¿Cómo definir esta transformación en el plano?
I. ¿Qué es una traslación?
Una traslación queda definida por un punto y su imagen.
1. Definición
Sean ABdos puntos distintos de un plano, y Motro punto diferente del mismo plano. La imagen del punto Mpor la traslación que transforma el punto Aen el punto Bes el punto M'tal que ABM'Mes un paralelogramo (que quedará reducido a una recta si los puntos AB, y Mestán alineados).
Construir la imagen de un punto por una traslación
Según la figura 1, Mtiene como imagen a M'Ntiene como imagen a N'. La flecha muestra que Atiene a por imagen.
Nota: se debe tener cuidado con el orden de las letras (ABM'Mes un paralelogramo pero ABMM'no).
2. Propiedades
Si M'es la imagen de Mpor la traslación que transforma Aen B, entonces:
—MM' = AB;
las rectas ABMM'son paralelas;
las semirrectas [AB) y [MM') tienen la misma dirección;
los segmentos BMAM'tienen el mismo punto central.
II. Construir la imagen de un punto utilizando regla y compás
Sea una traslación definida por un punto Ay su imagen B (A ≠ B). Queremos construir la imagen del punto M.
1. Si el punto M no pertenece a la recta AB
Sea un punto Mque no pertenece a la recta AB. Vamos a construir la imagen M'de Mpor esta traslación.
El problema es hallar un punto M'tal que ABM'Msea un paralelogramo. Para obtener M'con regla y compás, procedemos de la siguiente forma:
—Pinchamos con el compás sobre el punto Ay abrimos su otro extremo hasta el punto B. Sin modificar la abertura del compás, pinchamos sobre el punto My trazamos un arco de circunferencia.
—Pinchamos de nuevo el compás sobre el punto A, pero ahora lo abrimos hasta el punto M. Sin modificar la abertura, pinchamos sobre el punto By trazamos otro arco de circunferencia, que cortará al arco anterior en el punto M’.
—Trazando los segmentos AMMM'BM'tendremos dibujado el paralelogramo. La figura 2 muestra la construcción.
Construir la imagen de un punto por una traslación
2. Si el punto M pertenece a la recta AB
Sea un punto Mperteneciente a la recta AB. Vamos a construir la imagen M'de Mpor esta traslación.
El punto M'es un punto de la recta AB tal que las longitudes ABMM'son iguales, y las semirrectas [AB) y [MM') tienen la misma dirección.
Para obtener la imagen M'pinchamos el compás sobre el punto Ay abrimos su otro extremo hasta el punto B. Sin modificar la abertura, pinchamos el compás sobre el punto My trazamos un arco de circunferencia, que cortará a la recta en el punto M’. La figura 3 muestra las fases de esta construcción.
Construir la imagen de un punto por una traslación