Composición de dos giros





Composición de dos giros

Matematicas : Geometria

Composición de dos giros


Composición de dos giros
La figura 1 ilustra una combinación de dos giros de 180° en torno a los centros O y O'.
¿Qué ocurre si a una figura le aplicamos dos giros sucesivos de 180°? ¿Y cómo podemos relacionar estos giros con una traslación?

I. Equivalencia entre la composición de dos giros y una traslación

Sean O y O' dos puntos distintos de un plano. Sean A, B y C tres puntos distintos de dicho plano, que suponemos no están alineados.
Construimos los puntos A', B' y C' que son, respectivamente, las imágenes de A, B y C por un giro de 180° en torno al centro O.
A continuación construimos los puntos A'', B'' y C'' que son, respectivamente, las imágenes de A', B' y C' por un giro de 180° en torno al centro O'.
Decimos que los puntos A'', B'' y C'' son las imágenes respectivas de A, B y C por la composición del giro de 180° de centro O y del giro de 180° de centro O’.
Composición de dos giros
Dibujamos los vectores Composición de dos giros, Composición de dos girosy Composición de dos giros: observemos que son iguales. Esto significa que hay una traslación resultante de los dos giros anteriores que transforma A en A'', B en B'' y C en C''.
Por precisar más: podemos dibujar el vector Composición de dos girosy comprobar que los vectores Composición de dos girosy Composición de dos girostienen la misma dirección y el mismo sentido, y que la longitud del vector Composición de dos giroses el doble que la del vector Composición de dos giros; podemos pues escribir Composición de dos giros.
En resumen: comprobamos que A'', B'' y C'' son las imágenes respectivas de A, B y C por la traslación de vector Composición de dos giros.

II. Propiedad y demostración

Del resultado que acabamos de obtener en el apartado anterior al aplicar esos dos giros sucesivos, deducimos la siguiente propiedad: la composición de un giro de 180° de centro O y un giro de 180° de centro O' equivale a la traslación de vector Composición de dos giros.
Demostración: sean O y O' dos puntos distintos de un plano y A otro punto de dicho plano.
Construimos el punto A', que es la imagen de A por un giro de 180° en torno al centro O.
A continuación, construimos el punto A'', que es la imagen de A' por un giro de 180° en torno al centro O'.
El punto A'' es entonces la imagen del punto A por la composición del giro de 180° de centro O y del giro de 180° de centro O’.
Composición de dos giros
Por la definición de giro de 180°, O es el punto medio del segmento AA' y O' es el punto medio del segmento A'A''.
Se deduce que el segmento OO' es un segmento que une los puntos medios de los dos lados del triángulo Composición de dos giros.
Aplicando el teorema de Tales, deducimos que los segmentos OO' y AA'' son paralelos y, en cuanto a longitudes, Composición de dos giros.
Los vectores Composición de dos girosy Composición de dos girostienen la misma dirección y el mismo sentido, y además Composición de dos giros.
Esto lo podemos traducir, como en el primer apartado, en la igualdad vectorial Composición de dos giros.
Esta igualdad vectorial significa que A'' es la imagen de A por la traslación de vector Composición de dos giros.
Hemos demostrado así que el punto A'', que es la imagen del punto A por un giro de 180° de centro O y un giro de 180° de centro O’, es también la imagen de A por una traslación de vector Composición de dos giros, que es el resultado al que queríamos llegar.

III. Aplicación

Problema: sean I y J dos puntos distintos y ABCD un cuadrilátero plano. Queremos construir la imagen de ABCD por composición de un giro de 180° en torno al centro I y de un giro de 180° en torno al centro J.
Composición de dos giros
Solución: sabemos que la composición de un giro de 180° en torno al centro I y de un giro de 180° en torno al centro J es la traslación de vector Composición de dos giros.
Por tanto, construimos los puntos A', B', C' y D' que son las imágenes respectivas de A, B, C y D por esta traslación.
Los puntos A', B', C' y D' están definidos por las igualdades: Composición de dos giros.