Comparar un ángulo inscrito en una circunferencia con el ángulo central asociado

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Comparar un ángulo inscrito en una circunferencia con el ángulo central asociado



Imagina el siguiente experimento: colocamos tres puntos, AM y B en una circunferencia y dibujamos el ángulo Comparar un ángulo inscrito en una circunferencia con el ángulo central asociado. Ahora trazamos un nuevo ángulo Comparar un ángulo inscrito en una circunferencia con el ángulo central asociado, siendo O el centro de la circunferencia, y entonces medimos el ángulo Comparar un ángulo inscrito en una circunferencia con el ángulo central asociado. A continuación, cambiamos la posición del punto M, dejando fijos los puntos A y B. Posiblemente tengamos la impresión de que el tamaño del ángulo Comparar un ángulo inscrito en una circunferencia con el ángulo central asociadoes siempre igual a la mitad del ángulo Comparar un ángulo inscrito en una circunferencia con el ángulo central asociado. ¿Estaremos en lo cierto? 
I. Definiciones
A y B son dos puntos cualesquiera de una circunferencia que tiene el centro en el punto O. El ángulo Comparar un ángulo inscrito en una circunferencia con el ángulo central asociadoes conocido con el nombre de ángulo central de la circunferencia. A partir de ahora diremos que el ángulo intercepta el arco AB.
Comparar un ángulo inscrito en una circunferencia con el ángulo central asociado 
Nota: los puntos A y B de la figura de arriba definen dos ángulos centrales: un ángulo central menor Comparar un ángulo inscrito en una circunferencia con el ángulo central asociadoque intercepta el menor arco que forman y B, y un ángulo central mayor Comparar un ángulo inscrito en una circunferencia con el ángulo central asociadoque intercepta el arco mayor que forman y B.
AB y M son tres puntos distintos de una circunferencia. El ángulo Comparar un ángulo inscrito en una circunferencia con el ángulo central asociadorecibe el nombre de ángulo inscrito. También podemos decir que este ángulo intercepta el arco AB.
Comparar un ángulo inscrito en una circunferencia con el ángulo central asociado 
II. Propiedades
1. Ángulo inscrito y ángulo central interceptan el mismo arco
Propiedad: la amplitud de un ángulo inscrito en una circunferencia es la mitad de la amplitud del ángulo central que intercepta el mismo arco. 
Ejemplo: en la figura 3, el ángulo inscrito Comparar un ángulo inscrito en una circunferencia con el ángulo central asociadoy el ángulo central Comparar un ángulo inscrito en una circunferencia con el ángulo central asociadointerceptan el mismo arco AB; podemos deducir que: 
Comparar un ángulo inscrito en una circunferencia con el ángulo central asociado 
Comparar un ángulo inscrito en una circunferencia con el ángulo central asociado 
2. Ángulos inscritos que interceptan el mismo arco
Propiedad: dos ángulos inscritos (en la misma circunferencia) que interceptan el mismo arco, tienen el mismo tamaño. 
Ejemplo: en la figura 4, los ángulos inscritos Comparar un ángulo inscrito en una circunferencia con el ángulo central asociadoComparar un ángulo inscrito en una circunferencia con el ángulo central asociadointerceptan el mismo arco AB. Deducimos que Comparar un ángulo inscrito en una circunferencia con el ángulo central asociado.
Comparar un ángulo inscrito en una circunferencia con el ángulo central asociado 
Podemos demostrar esta última propiedad: para hacerlo llamaremos O al centro de la circunferencia. 
El ángulo inscrito Comparar un ángulo inscrito en una circunferencia con el ángulo central asociadoy el ángulo central Comparar un ángulo inscrito en una circunferencia con el ángulo central asociadointerceptan el mismo arco.
Así, usando la propiedad anterior, tenemos que: Comparar un ángulo inscrito en una circunferencia con el ángulo central asociado.
De la misma forma, el ángulo inscrito Comparar un ángulo inscrito en una circunferencia con el ángulo central asociadoComparar un ángulo inscrito en una circunferencia con el ángulo central asociadoy el ángulo central Comparar un ángulo inscrito en una circunferencia con el ángulo central asociadointerceptan el mismo arco AB.
Usando la propiedad anterior, tenemos también que: Comparar un ángulo inscrito en una circunferencia con el ángulo central asociado.
A partir de estas dos igualdades podemos deducir el siguiente resultado: Comparar un ángulo inscrito en una circunferencia con el ángulo central asociado.
III. Aplicaciones
1. Calcular la amplitud de un ángulo
Problema: consideremos una estrella regular de cinco puntas. Podemos construirla trazando las diagonales que unen los vértices del pentágono regular ABCDE representado en la figura 5.
Vamos a calcular la amplitud del ángulo Comparar un ángulo inscrito en una circunferencia con el ángulo central asociadoComparar un ángulo inscrito en una circunferencia con el ángulo central asociado.
Comparar un ángulo inscrito en una circunferencia con el ángulo central asociado 
Solución: sabemos que los vértices de un pentágono regular se encuentran todos en la misma circunferencia: llamaremos O al centro de esta circunferencia.
Consideremos un ángulo central Comparar un ángulo inscrito en una circunferencia con el ángulo central asociadoy el ángulo inscrito Comparar un ángulo inscrito en una circunferencia con el ángulo central asociado: ambos interceptan el mismo arco CD, por tanto, podemos deducir que: Comparar un ángulo inscrito en una circunferencia con el ángulo central asociado.
El ángulo central de un pentágono regular es igual a Comparar un ángulo inscrito en una circunferencia con el ángulo central asociado.
Por lo tanto, tenemos que Comparar un ángulo inscrito en una circunferencia con el ángulo central asociadoy, en consecuencia, Comparar un ángulo inscrito en una circunferencia con el ángulo central asociado, o bien Comparar un ángulo inscrito en una circunferencia con el ángulo central asociado.
2. Demostración de una propiedad
Vamos a demostrar una propiedad que ya hemos estudiado: un triángulo inscrito en una semicircunferencia, es siempre un triángulo rectángulo.
Tomemos una circunferencia con centro en O y diámetro BC, así como un punto A, distinto de B y C, en la misma. Vamos a demostrar que el triángulo Comparar un ángulo inscrito en una circunferencia con el ángulo central asociado, inscrito en la semicircunferencia, tiene un ángulo recto en A.
Comparar un ángulo inscrito en una circunferencia con el ángulo central asociado 
Solución: consideremos el ángulo central Comparar un ángulo inscrito en una circunferencia con el ángulo central asociadoy el inscrito Comparar un ángulo inscrito en una circunferencia con el ángulo central asociado: ambos interceptan el mismo arco BC, por ello podemos deducir que Comparar un ángulo inscrito en una circunferencia con el ángulo central asociado.
El ángulo Comparar un ángulo inscrito en una circunferencia con el ángulo central asociadoes un ángulo llano (180º) ya que BC es el diámetro de la circunferencia con centro en O. Por lo tanto, Comparar un ángulo inscrito en una circunferencia con el ángulo central asociado.
Podemos deducir que: Comparar un ángulo inscrito en una circunferencia con el ángulo central asociado. Por lo tanto, el triángulo Comparar un ángulo inscrito en una circunferencia con el ángulo central asociadotiene un ángulo recto en A. Se trata de un triángulo rectángulo.