Comparar un ángulo inscrito
Matematicas : Geometria
Comparar un ángulo inscrito en una circunferencia con el ángulo central asociado
Imagina el siguiente experimento: colocamos tres puntos, A, M y B en una circunferencia y dibujamos el ángulo 
. Ahora trazamos un nuevo ángulo 
, siendo O el centro de la circunferencia, y entonces medimos el ángulo 
. A continuación, cambiamos la posición del punto M, dejando fijos los puntos A y B. Posiblemente tengamos la impresión de que el tamaño del ángulo 
es siempre igual a la mitad del ángulo 
. ¿Estaremos en lo cierto?
I. Definiciones
A y B son dos puntos cualesquiera de una circunferencia que tiene el centro en el punto O. El ángulo 
es conocido con el nombre de ángulo central de la circunferencia. A partir de ahora diremos que el ángulo intercepta el arco AB.
Nota: los puntos A y B de la figura de arriba definen dos ángulos centrales: un ángulo central menor 
que intercepta el menor arco que forman A y B, y un ángulo central mayor 
que intercepta el arco mayor que forman A y B.
A, B y M son tres puntos distintos de una circunferencia. El ángulo 
recibe el nombre de ángulo inscrito. También podemos decir que este ángulo intercepta el arco AB.
II. Propiedades
1. Ángulo inscrito y ángulo central interceptan el mismo arco
Propiedad: la amplitud de un ángulo inscrito en una circunferencia es la mitad de la amplitud del ángulo central que intercepta el mismo arco.
Ejemplo: en la figura 3, el ángulo inscrito 
y el ángulo central 
interceptan el mismo arco AB; podemos deducir que:
2. Ángulos inscritos que interceptan el mismo arco
Propiedad: dos ángulos inscritos (en la misma circunferencia) que interceptan el mismo arco, tienen el mismo tamaño.
Ejemplo: en la figura 4, los ángulos inscritos 
y 
interceptan el mismo arco AB. Deducimos que 
.
Podemos demostrar esta última propiedad: para hacerlo llamaremos O al centro de la circunferencia.
El ángulo inscrito 
y el ángulo central 
interceptan el mismo arco.
Así, usando la propiedad anterior, tenemos que: 
.
De la misma forma, el ángulo inscrito 
y el ángulo central 
interceptan el mismo arco AB.
Usando la propiedad anterior, tenemos también que: 
.
A partir de estas dos igualdades podemos deducir el siguiente resultado: 
.
III. Aplicaciones
1. Calcular la amplitud de un ángulo
Problema: consideremos una estrella regular de cinco puntas. Podemos construirla trazando las diagonales que unen los vértices del pentágono regular ABCDE representado en la figura 5.
Vamos a calcular la amplitud del ángulo 
.
Solución: sabemos que los vértices de un pentágono regular se encuentran todos en la misma circunferencia: llamaremos O al centro de esta circunferencia.
Consideremos un ángulo central 
y el ángulo inscrito 
: ambos interceptan el mismo arco CD, por tanto, podemos deducir que: 
.
El ángulo central de un pentágono regular es igual a 
.
Por lo tanto, tenemos que 
y, en consecuencia, 
, o bien 
.
2. Demostración de una propiedad
Vamos a demostrar una propiedad que ya hemos estudiado: un triángulo inscrito en una semicircunferencia, es siempre un triángulo rectángulo.
Tomemos una circunferencia con centro en O y diámetro BC, así como un punto A, distinto de B y C, en la misma. Vamos a demostrar que el triángulo 
, inscrito en la semicircunferencia, tiene un ángulo recto en A.
Solución: consideremos el ángulo central 
y el inscrito 
: ambos interceptan el mismo arco BC, por ello podemos deducir que 
.
El ángulo 
es un ángulo llano (180º) ya que BC es el diámetro de la circunferencia con centro en O. Por lo tanto, 
.
Podemos deducir que: 
. Por lo tanto, el triángulo 
tiene un ángulo recto en A. Se trata de un triángulo rectángulo.