Como calcular la distancia entre un punto y una recta





Calcular la distancia entre un punto y una recta

Matematicas : Geometria

Calcular la distancia entre un punto y una recta


Tenemos que dibujar el segmento más corto que une el punto con la recta. ¿Por qué hemos de utilizar una escuadra?


I. Distancia de un punto a una recta

1. Propiedad
Sea r una recta cualquiera y A un punto del plano. H es el punto en el que la perpendicular a la recta r, trazada desde el punto A,corta a dicha recta r. H es el punto de r más próximo al punto A.
Calcular la distancia entre un punto y una recta
En la figura vemos que si M es un punto de la recta diferente de H, entonces AM > AH.

2. Demostración

En primer lugar observamos que esta propiedad se cumple si A pertenece a r. Efectivamente, en este caso, H = A y por tanto AH = 0, y si M es diferente de H (por tanto, también diferente de A) entonces AM > 0.
A continuación, consideramos el caso en que A no pertenezca a r. Utilizando de nuevo la figura 1, construimos el punto A’,simétrico de A con respecto a r.
Calcular la distancia entre un punto y una recta
La recta AA' es perpendicular a r. Los puntos A, H y A' están alineados y H es el centro del segmento AA'. Se cumple que AA' = 2AH. (1)
Además, como M está sobre la recta r, se cumple que A'M = AM. (2)
Consideremos los tres puntos A, A' y M. Por la propiedad de un triángulo según la cual la longitud de uno cualquiera de sus lados es siempre menor o igual que la suma de las longitudes de los otros dos, se cumple que: Calcular la distancia entre un punto y una recta.
Usando las ecuaciones (1) y (2), obtenemos Calcular la distancia entre un punto y una recta. Simplificando esta inecuación, dividiendo sus dos miembros entre 2, resulta: Calcular la distancia entre un punto y una recta, que es lo que queríamos demostrar.
3. Definición
Sea r una recta cualquiera, A un punto y H el punto donde corta la perpendicular a la recta r trazada desde el punto A.
La distancia del punto A a la recta r es la longitud del segmento AH.
En el apartado I.1 vimos que esta es la distancia más corta entre A y un punto de la recta r.

II. Consecuencias


1. La hipotenusa de un triángulo rectángulo
Propiedad: Sea Calcular la distancia entre un punto y una rectaun triángulo rectángulo, cuyo ángulo recto corresponde al vértice A. La hipotenusa BC es su lado más largo.
Calcular la distancia entre un punto y una recta
—La distancia de B a la recta AC es BA, por tanto, BC > BA.
—La distancia de C a la recta AB es CA, por tanto, BC > CA.
Esto prueba que la hipotenusa es mayor que cualquiera de los catetos.

2. Puntos situados a cierta distancia de una recta dada
Propiedad: Sea r una recta y d un número real positivo. El conjunto de puntos situados a una distancia d de la recta r forma dos rectas que son paralelas a r.
Calcular la distancia entre un punto y una recta
Aplicación: sean r y s dos rectas secantes. Hallar los puntos que distan 2 cm de r y 3 cm de s.
Calcular la distancia entre un punto y una recta
Hemos dibujado de rojo el conjunto de puntos que distan 2 cm de r y de verde el conjunto de puntos que distan 3 cm de s.
Estas cuatro rectas se cortan en A, B, C y D, que son los puntos que distan 2 cm de r y 3 cm de s.