Como calcular el volumen de una pirámide o de un cono





Calcular el volumen de una pirámide o de un cono

Matematicas : Geometria

Calcular el volumen de una pirámide o de un cono


Se supone que ya sabemos cómo se calcula el volumen de un prisma recto y de un cilindro. La misma fórmula Calcular el volumen de una pirámide o de un conoproporciona el volumen para ambos.

¿Podrá una misma fórmula permitirnos calcular el volumen de una pirámide y de un cono?

I. El volumen de la pirámide

1. Fórmula
Calcular el volumen de una pirámide o de un cono
Supongamos que tenemos una pirámide de altura h y que la superficie de su base tiene un valor B.
El volumen de la pirámide vendría dado por la fórmula: Calcular el volumen de una pirámide o de un cono, o bien: Calcular el volumen de una pirámide o de un cono.
Donde V, B y h deben ir expresadas en unidades de medida que se correspondan; por ejemplo, si h se expresa en cm, B irá en cm2 y V en cm3.
Nota: el volumen de una pirámide es una tercera parte del volumen de un prisma recto que tenga la misma base y la misma altura.
Calcular el volumen de una pirámide o de un cono
2. Ejemplo
Problema: calcula el volumen de una pirámide regular de base cuadrada cuyo lado AB mide 7 m, y con una arista AS de 8 m.
Calcular el volumen de una pirámide o de un cono
Solución:
—Antes de poder usar la fórmula Calcular el volumen de una pirámide o de un cono, debemos calcular el valor del área de la base (B). Como la base es un cuadrado, el área será: B = l2; B = l × l; B = 7²; B = 49 m2.
—También debemos calcular la altura SH de la pirámide.
Calcular el volumen de una pirámide o de un cono
Observa la figura y comprobarás que para hallar la altura SH del triángulo Calcular el volumen de una pirámide o de un cono, es necesario usar el teorema de Pitágoras: h2 = C2 + c2, que si lo adaptamos al problema: AS2 = SH2 + AH2, y despejando tenemos que SH2 = AS2 - AH2; Calcular el volumen de una pirámide o de un cono.
Para hallar SH tan solo necesitamos introducir los datos en la fórmula anterior; el único problema es que aún no conocemos el valor de AH. Veamos:
Calcular el volumen de una pirámide o de un cono
El triángulo Calcular el volumen de una pirámide o de un conoes un triángulo rectángulo isósceles, por lo que AH = HB. Si usamos el teorema de Pitágoras tenemos que: AB2 = AH2 + AH2; AB2 = 2AH2; Calcular el volumen de una pirámide o de un cono; Calcular el volumen de una pirámide o de un cono
Por lo tanto:
Calcular el volumen de una pirámide o de un cono
Ahora ya podemos hallar SH:
Calcular el volumen de una pirámide o de un cono; Calcular el volumen de una pirámide o de un cono
Por fin tenemos los datos necesarios para sustituirlos en la fórmula del volumen de la pirámide: el área de la base (B = 49 m2) y la altura (SH = 6,29 m).
Como Calcular el volumen de una pirámide o de un cono, sustituyendo tenemos que:
Calcular el volumen de una pirámide o de un cono; y, por tanto:
V = 102,7 m3.

II. El volumen del cono

1. Fórmula
Calcular el volumen de una pirámide o de un cono
Un cono tiene una altura h y una superficie de su base que llamaremos B.
Su volumen vendrá dado por la fórmula: Calcular el volumen de una pirámide o de un cono, o bien: Calcular el volumen de una pirámide o de un cono.
Donde V, B y h deben ir expresadas en unidades de medida que se correspondan; por ejemplo, si h se expresa en cm, B irá en cm2 y V en cm3.
Notas:
—el volumen de un cono es la tercera parte del volumen de un cilindro que tenga la misma base y altura:
Calcular el volumen de una pirámide o de un cono
—si r es el radio de la base: Calcular el volumen de una pirámide o de un cono.
Donde V, r y h deben ir expresadas en unidades de medida que se correspondan; por ejemplo, h en cm, r en cm y V en cm3.
2. Ejemplos
Problema 1: calcular el volumen de un cono de 7 cm de altura, cuya base circular tiene un radio de 4 cm.
Solución: usando la fórmula Calcular el volumen de una pirámide o de un cono,
tenemos: Calcular el volumen de una pirámide o de un cono.
El volumen de este cono es aproximadamente de 117 cm3.
Problema 2: tomamos un triángulo rectángulo y lo hacemos rotar en torno a uno de sus catetos, formándose en su revolución la figura de un cono. Dependiendo de cuál sea el cateto que escojamos como eje de rotación, obtendremos uno de los dos conos que aparecen en la figura de abajo. Si sabemos que C = 8 cm y c = 6 cm, ¿cuál de los dos conos tendría mayor volumen?
Calcular el volumen de una pirámide o de un cono
Solución: el radio de la base del primer cono mide 6 cm y su altura 8 cm.
Su volumen, en cm3, es: Calcular el volumen de una pirámide o de un cono.
El radio de la base del segundo cono mide 8 cm y su altura 6 cm.
Su volumen, en cm3, es: Calcular el volumen de una pirámide o de un cono.
Por consiguiente, el segundo cono es el que tiene mayor volumen.