Calcular la distancia entre dos puntos
Matematicas : Geometria
Calcular la distancia entre dos puntos
Si utilizamos un sistema de coordenadas cartesianas para representar puntos sobre un plano, podemos calcular la distancia entre dos puntos cualesquiera del plano conociendo sus coordenadas.
¿Cómo calcular esa distancia? ¿A qué lo podemos aplicar?
I. La fórmula
Sea un sistema de coordenadas cartesianas xy, y sean A y B dos puntos del plano, de coordenadas (x, y) e (x', y'), respectivamente.
La distancia entre esos dos puntos A y B viene dada por la fórmula:
II. Aplicaciones
1. Determinar si cuatro puntos dados forman un cuadrilátero y de qué tipo
Situamos los puntos A(-2, -3), B(-1, 3), C(4, -2) y D(5, 4) en un sistema de coordenadas cartesianas, tomando como unidad de longitud el centímetro.
Vamos a demostrar que el cuadrilátero ACDB es un rombo. Para ello, calculamos la longitud de uno de sus lados. Aplicando la fórmula, tenemos:
Así pues, d(A, C) = d(C, D) = d(D, B) = d(B, A), es decir, los cuatro lados del cuadrilátero ACDB tienen la misma longitud, por tanto, es un rombo.
2. Determinar si tres puntos dados forman o no un triángulo rectángulo
Situemos los puntos A(2, -5), B(0, 3) y C(-3, 0) sobre un sistema de coordenadas cartesianas, tomando como unidad de longitud el centímetro.
Vamos a demostrar que el triángulo 
es rectángulo. Para ello, calculamos la longitud de cada uno de sus lados. Aplicando la fórmula, tenemos:
Comparamos d(B, A)² y d(C, B)² + d(A, C)².
y 
.d(B, A)² = d(C, B)² + d(A, C)², por tanto, el triángulo
tiene un ángulo recto en C de acuerdo con el teorema de Pitágoras.3. Comprobar si un punto dado pertenece o no a una circunferencia
Situemos los puntos H(-1, 2) y M(3, 5) sobre un sistema de coordenadas cartesianas, tomando como unidad de longitud el centímetro. Queremos demostrar que M es un punto que pertenece a la circunferencia de centro H y radio igual a 5.
Calculamos la distancia d(M, H). Aplicando la fórmula, obtenemos:
.d(M, H) = 5. Por tanto, M es un punto de la circunferencia con centro en H y radio igual a 5.
4. Comprobar que un punto está sobre la mediatriz de un segmento
Situemos los puntos E(0, 2), F(3, -1) y B (-1, -2) sobre un sistema de coordenadas cartesianas, tomando como unidad de longitud el centímetro.
Calculamos d(E, B) y d(F, B):
.d(E, B) = d(F, B). Es decir, B es equidistante de E y de F, lo que demuestra que B está sobre la mediatriz del segmento EF.
Distancia entre dos puntos y ángulo entre dos rectas