Como calcular la distancia entre dos puntos





Calcular la distancia entre dos puntos

Matematicas : Geometria

Calcular la distancia entre dos puntos


Si utilizamos un sistema de coordenadas cartesianas para representar puntos sobre un plano, podemos calcular la distancia entre dos puntos cualesquiera del plano conociendo sus coordenadas.


¿Cómo calcular esa distancia? ¿A qué lo podemos aplicar?


I. La fórmula

Sea un sistema de coordenadas cartesianas xy, y sean A y B dos puntos del plano, de coordenadas (x, y) e (x', y'), respectivamente.


La distancia entre esos dos puntos A y B viene dada por la fórmula:
calculo de distancias

II. Aplicaciones

1. Determinar si cuatro puntos dados forman un cuadrilátero y de qué tipo
Situamos los puntos A(-2, -3), B(-1, 3), C(4, -2) y D(5, 4) en un sistema de coordenadas cartesianas, tomando como unidad de longitud el centímetro.


Calcular la distancia entre dos puntos

Vamos a demostrar que el cuadrilátero ACDB es un rombo. Para ello, calculamos la longitud de uno de sus lados. Aplicando la fórmula, tenemos:


formula distancia entre dos puntos
calculo de distancias
formula distancia entre dos puntos
calculo de distancias

Así pues, d(A, C) = d(C, D) = d(D, B) = d(B, A), es decir, los cuatro lados del cuadrilátero ACDB tienen la misma longitud, por tanto, es un rombo.


2. Determinar si tres puntos dados forman o no un triángulo rectángulo

Situemos los puntos A(2, -5), B(0, 3) y C(-3, 0) sobre un sistema de coordenadas cartesianas, tomando como unidad de longitud el centímetro.


Calcular la distancia entre dos puntos

Vamos a demostrar que el triángulo Calcular la distancia entre dos puntoses rectángulo. Para ello, calculamos la longitud de cada uno de sus lados. Aplicando la fórmula, tenemos:


calculo de distancias
formula distancia entre dos puntos
Calcular la distancia entre dos puntos
Comparamos d(B, A)² y d(C, B)² + d(A, C)².
calculo de distanciasy Calcular la distancia entre dos puntos.
d(B, A)² = d(C, B)² + d(A, C)², por tanto, el triángulo Calcular la distancia entre dos puntostiene un ángulo recto en C de acuerdo con el teorema de Pitágoras.

3. Comprobar si un punto dado pertenece o no a una circunferencia

Situemos los puntos H(-1, 2) y M(3, 5) sobre un sistema de coordenadas cartesianas, tomando como unidad de longitud el centímetro. Queremos demostrar que M es un punto que pertenece a la circunferencia de centro H y radio igual a 5.


Calcular la distancia entre dos puntos
Calculamos la distancia d(M, H). Aplicando la fórmula, obtenemos:
calculo de distancias.
d(M, H) = 5. Por tanto, M es un punto de la circunferencia con centro en H y radio igual a 5.

4. Comprobar que un punto está sobre la mediatriz de un segmento

Situemos los puntos E(0, 2), F(3, -1) y B (-1, -2) sobre un sistema de coordenadas cartesianas, tomando como unidad de longitud el centímetro.


calculo de distancias
Calculamos d(E, B) y d(F, B):
calculo de distancias
calculo de distancias.
d(E, B) = d(F, B). Es decir, B es equidistante de E y de F, lo que demuestra que B está sobre la mediatriz del segmento EF.
Distancia entre dos puntos y ángulo entre dos rectas
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