Probabilidad





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Probabilidad


En una carta escrita el 29 de julio de 1654, Pascal respondía a Fermat sobre el “problema de las partes” (sobre cómo repartir las ganancias conseguidas al apostar en una partida de dados). Podemos decir que ese día nació la probabilidad. Bernoulli y después Poisson ampliaron esta rama de las matemáticas, hasta adquirir, ya en el siglo XX, las bases teóricas necesarias para concebir las leyes de todas las ciencias, desde la física hasta la sociología.

I. Definir una probabilidad

Se parte de una experiencia aleatoria, E, llamada así porque conocemos todos los resultados posibles, pero no podemos predecir de antemano qué resultado se va a dar.
Para definir una probabilidad sobre E, seguimos estas etapas:
—usando, por ejemplo, un diagrama en árbol, podemos determinar todos los resultados posibles de la experiencia aleatoria; así se define el espacio muestral Probabilidadcomo el conjunto formado por todos los resultados posibles de E. Tenemos Probabilidad;
—se le atribuye una posibilidad a cada resultado, es decir, que a cada ei se le asocia un número pi tal que:
Probabilidad
Para determinar los valores pi disponemos de dos posibilidades:
—podemos asociar la misma probabilidad a todos los resultados, con lo que Probabilidad; entonces decimos que son equiprobables;
—podemos repetir la experiencia en idénticas condiciones, y definir pi como la frecuencia de ei cuando el número de repeticiones tiende hacia Probabilidad.
Una vez establecidas las probabilidades, podemos presentarlas en una tabla:
Probabilidad
Nota: la primera etapa es esencial. Se trata de entender la experiencia, visualizarla y simularla, de manera que deduzcamos cuáles son todos los resultados posibles.

II. Calcular la probabilidad de un suceso

Sea E una experiencia aleatoria y Probabilidad  el espacio muestral asociado a E; se llama suceso de la experiencia aleatoria E a todo subconjunto de Probabilidad. O dicho de otra forma, un suceso A pertenece a Probabilidad.
Si xi pertenece a A, también podemos decir que xi verifica A.
Un suceso elemental es un suceso constituido por un único elemento de Probabilidad, es decir, por un suceso simple Probabilidad.
La probabilidad P(A) de un suceso A es la suma de las probabilidades de los sucesos elementales que lo constituyen. En caso de que sean equiprobables, entonces cada suceso ei tiene una probabilidad de Probabilidad. Así, si A contiene m elementos, Probabilidad. Dicho de otra forma:
Probabilidad
Notas:
—La probabilidad de un suceso elemental Probabilidades pi.
Probabilidades el llamado suceso seguro, ya que su probabilidad es Probabilidad.
—Al subconjunto vacío, representado por Probabilidad, se le llama suceso imposible, ya que su probabilidad es Probabilidad.

III. Calcular la probabilidad de la unión de A y B

Sean A y B dos sucesos de una misma experiencia aleatoria.
Probabilidades el suceso formado por los elementos que pertenecen a A o a B.
Probabilidades el suceso formado por los elementos que pertenecen a A y a B.
Cuando Probabilidad, es decir, cuando no hay ningún elemento que pertenezca a la vez a A y a B, decimos que A y B son sucesos incompatibles.
Para dos sucesos cualesquiera A y B se cumple que: Probabilidad.
Si A y B son sucesos incompatibles: Probabilidad.

IV. Calcular la probabilidad de un suceso contrario

El suceso contrario a A, representado por Probabilidad, es el suceso que tiene lugar cuando no ocurre A. Está formado por los elementos que no pertenecen a A.
Tenemos: Probabilidady Probabilidad.
Usando las propiedades vistas en el apartado anterior, podemos demostrar que para todo suceso A se cumple que: Probabilidad.
Recuerda
—Para definir una probabilidad, asociamos a cada elemento xi un número positivo pi tal que: Probabilidad.
—La probabilidad P(A) de un suceso A es la suma de las probabilidades de los elementos que lo componen.
—En caso de que sean equiprobables, Probabilidad.
—Si A y B son dos sucesos cualesquiera, se cumple que: Probabilidad.
—Para cualquier suceso A se cumple que: Probabilidad.

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