Resolver un sistema de ecuaciones con dos incógnitas

Resolver un sistema de ecuaciones con dos incógnitas


Un sistema de ecuaciones contiene varias ecuaciones para ser resueltas al mismo tiempo y puede tener varias incógnitas en cada ecuación.
¿Cómo podemos resolver de forma sencilla un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas?

I. Definiciones

1. Sistema de ecuaciones con dos incógnitas

Un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas tiene esta estructura:
Resolver un sistema de ecuaciones con dos incógnitasdonde x e y son incógnitas.
a, b, c, d, e y f son valores conocidos que cumplen la siguiente condición: o b ≠ 0 y o e ≠ 0.
Ejemplo: Resolver un sistema de ecuaciones con dos incógnitases un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.

2. Resolver un sistema de ecuaciones

Decimos que un par de valores (uv) es solución de un sistema de ecuaciones si las igualdades de ambas se cumplen cuando sustituimos x por u e y por v en cada ecuación.
Ejemplo: queremos comprobar si el par (2, –1) es una solución de este sistema: Resolver un sistema de ecuaciones con dos incógnitas
Sustituyendo x por 2 e y por –1, obtenemos: Resolver un sistema de ecuaciones con dos incógnitas, es decir, Resolver un sistema de ecuaciones con dos incógnitas
Las igualdades de ambas ecuaciones son ciertas, por lo que podemos afirmar que el par (2, –1) es la solución de este sistema.
Nota: el orden de los números en el par ordenado es importante. Por ejemplo, si expresamos la solución como (–1, 2) estaríamos equivocados, ya que la solución correcta es (2,-1). Esto es así porque la primera componente de un par ordenado siempre hace referencia a la x, mientras que la segunda componente se refiere siempre a la y.

II. Métodos de resolución

1. Método de sustitución
Podemos explicar este método mediante un ejemplo.
Resuelve este sistema de ecuaciones: Resolver un sistema de ecuaciones con dos incógnitas
—Tomamos una de las dos ecuaciones para expresar una de las incógnitas en función de la otra. Por ejemplo, vamos a expresar la x en función de y usando la primera ecuación.
Despejando la x en la primera ecuación, el sistema quedaría así: Resolver un sistema de ecuaciones con dos incógnitas
—A continuación, sustituimos la x de la segunda ecuación por el valor que hemos obtenido en la primera (2y + 3). Por eso llamamos a este método de “sustitución”.
De manera que ahora tenemos el sistema de la siguiente forma:
Resolver un sistema de ecuaciones con dos incógnitas
—Observa que la segunda ecuación ha quedado como una ecuación de primer grado con una incógnita, la y, la cual podemos resolver (reservaremos su valor para utilizarlo más tarde en la primera ecuación). El proceso de simplificación y resolución de la segunda ecuación quedaría así:
Resolver un sistema de ecuaciones con dos incógnitas ; Resolver un sistema de ecuaciones con dos incógnitas ; Resolver un sistema de ecuaciones con dos incógnitas ; Resolver un sistema de ecuaciones con dos incógnitas
—Ahora que hemos encontrado el valor de la y, lo sustituimos en la primera ecuación para obtener el valor de x:
Resolver un sistema de ecuaciones con dos incógnitas, es decir: Resolver un sistema de ecuaciones con dos incógnitas
La solución de este sistema de ecuaciones es (1, –1).

2. Método de reducción

Explicaremos este método mediante un ejemplo.
Resuelve este sistema de ecuaciones: Resolver un sistema de ecuaciones con dos incógnitas
—Multiplicamos por 2 los dos miembros de la primera ecuación, de manera que tengamos el mismo coeficiente para la y en ambas ecuaciones.
El sistema quedaría así: Resolver un sistema de ecuaciones con dos incógnitas.
—Ahora, si restamos las dos ecuaciones, observaremos cómo la incógnita desaparece en ambas:
Observa: Resolver un sistema de ecuaciones con dos incógnitasy si despejamos: Resolver un sistema de ecuaciones con dos incógnitas.
—Ya solo nos queda sustituir este valor en cualquiera de las dos ecuaciones iniciales para obtener el resultado de la y.
Tomamos el sistema desde el principio Resolver un sistema de ecuaciones con dos incógnitasy sustituimos la x en cualquiera de ellas :
Resolver un sistema de ecuaciones con dos incógnitas; Resolver un sistema de ecuaciones con dos incógnitas; Resolver un sistema de ecuaciones con dos incógnitas ; Resolver un sistema de ecuaciones con dos incógnitas; Resolver un sistema de ecuaciones con dos incógnitas; Resolver un sistema de ecuaciones con dos incógnitas.
La solución del sistema es (3,5, 1,5).

3. Método de igualación

Explicaremos este método mediante un ejemplo.
Resuelve este sistema de ecuaciones: Resolver un sistema de ecuaciones con dos incógnitas
—Despejamos la misma incógnita en ambas ecuaciones. La que queramos, por ejemplo la y: Resolver un sistema de ecuaciones con dos incógnitas
—Como las dos ecuaciones son iguales a y, igualamos el segundo miembro de ambas y construimos así una ecuación de primer grado con una incógnita:
Resolver un sistema de ecuaciones con dos incógnitas
Simplificamos y resolvemos para hallar x: Resolver un sistema de ecuaciones con dos incógnitas; Resolver un sistema de ecuaciones con dos incógnitas; Resolver un sistema de ecuaciones con dos incógnitas; Resolver un sistema de ecuaciones con dos incógnitas; Resolver un sistema de ecuaciones con dos incógnitas.
—Solo nos queda sustituir este valor en cualquiera de las ecuaciones del sistema Resolver un sistema de ecuaciones con dos incógnitasy obtendremos el valor para y: Resolver un sistema de ecuaciones con dos incógnitas; Resolver un sistema de ecuaciones con dos incógnitas; Resolver un sistema de ecuaciones con dos incógnitas; Resolver un sistema de ecuaciones con dos incógnitas.
La solución del sistema es (–1, 3).
Nota 1: los tres métodos, sustitución, reducción e igualación, pueden ser usados para resolver cualquier sistema de ecuaciones. Sin embargo, dependiendo de las ecuaciones, nos interesará elegir un método u otro, según cuál nos resulte más sencillo de utilizar.
Nota 2: cuando nos encontremos con que algunos de los coeficientes de las ecuaciones sean fraccionarios, es conveniente reducir las fracciones a común denominador y eliminar denominadores antes de empezar a aplicar cualquiera de los tres métodos.

 

tags:

Mas informacion en : Ecuaciones lineales y cuadraticas Estadistica y Probabilidad , introduccion, desarrollo y ejercicios Concepto de plano cartesiano Radicacion Teorema de pitagoras su demostracion y ejemplos Trigonometria basica y sus elementos