Resolver inecuaciones lineales con una incógnita





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Resolver inecuaciones lineales con una incógnita

 

Los métodos de resolución de ecuaciones e inecuaciones son similares, sin embargo, a diferencia de las ecuaciones, las cuales usualmente tienen un número finito de soluciones, una inecuación generalmente tiene un conjunto infinito de soluciones.

¿Cómo resolver y representar estas soluciones en el caso de una inecuación lineal con una incógnita?

 

I. Definiciones

1. Inecuaciones

Una inecuación es una expresión que compara dos cantidades diferentes —expresiones algebraicas— que contienen una letra llamada incógnita.

Recuerda: los 4 símbolos de una inecuación son:

significa “menor o igual que”;

significa “mayor o igual que”;

<  significa “menor que”;

> significa “mayor que”.

Ejemplos: y 7x + 2,1 < 45 son inecuaciones cuya incógnita es x.

 

2. Soluciones de una inecuación

Decimos que un número es una solución de una inecuación si obtenemos una desigualdad que se cumple cuando sustituimos la incógnita de la inecuación por este número.

Ejemplo: tomemos la inecuación 2x + 3 > 5.

¿Es 2 una solución? Si sustituimos x por 2 en la inecuación, obtenemos 2 × 2 + 3 > 5, es decir, 7 > 5.

Esta desigualdad es cierta, y dado que se cumple, podemos decir que 2 es una solución.

¿Es 1 una solución? Si sustituimos la x por el valor 1 en la inecuación, obtenemos 2 × 1 + 3 > 5, esto es, 5 > 5.

Esta desigualdad no se cumple, dado que no es cierta, por lo tanto 1 no es una solución.

 

Resolver una inecuación significa encontrar todas sus soluciones.

 

II. Resolver una inecuación

1. Método

El método es similar al que usamos para resolver ecuaciones lineales con una incógnita, pero con una diferencia importante. Recordemos que en una inecuación podemos:

—sumar o restar el mismo número en ambos miembros de la inecuación;

—multiplicar o dividir ambos miembros de la inecuación por un mismo número distinto de cero, pero si este número es negativo, debemos invertir el signo de desigualdad.

 

2. Ejemplos

Ejemplo 1: queremos resolver la inecuación 2x + 3 > 5. Simplificamos:

2x > 5 – 3

2x > 2

x > 1: la resolución termina en este último paso.

Podemos observar que esta inecuación tiene infinitas soluciones, que son todos los números mayores que 1.

Ejemplo 2: queremos resolver la inecuación Resolver inecuaciones lineales con una incógnita.

Si resolvemos:

Resolver inecuaciones lineales con una incógnita

Resolver inecuaciones lineales con una incógnita

Resolver inecuaciones lineales con una incógnita: observa que hemos invertido el signo de desigualdad.

Las soluciones de la inecuación son todos los números menores o iguales que -4.

 

III. Representación gráfica de las soluciones

Tomemos la inecuación del primer ejemplo de la sección anterior de nuevo, en el último paso: x > 1. Tenemos claro que no podemos hacer una lista de todas las soluciones, ya que son infinitas. Sin embargo, es posible representarlas en la recta numérica, sombreando aquellos puntos que no son soluciones. Así, la parte de la recta que no está sombreada representaría el conjunto de sus soluciones.

Finalmente, debemos mostrar en la representación gráfica que 1 no es solución. Para ello usaremos un corchete orientado de la siguiente forma:

—si el número es una solución, el corchete mirará hacia el conjunto de las soluciones;

—si el número no es solución, el corchete mirará en sentido contrario al conjunto de las soluciones de la inecuación.

Ejemplos:

—para la inecuación del ejemplo 1 (x > 1), obtenemos la siguiente representación:

Resolver inecuaciones lineales con una incógnita

—para la inecuación del ejemplo 2 ( ), obtenemos la siguiente representación:

Resolver inecuaciones lineales con una incógnita

 

 

Ver también el artículo Resolver ecuaciones e inecuaciones lineales.

 

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