Usar los productos notables

Usar los productos notables

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a y b son dos números positivos. La longitud del lado del cuadrado ABCD (mirar figura 1) es a + b. Dentro de este cuadrado hay otros dos cuadrados y dos rectángulos. a y b son las longitudes de los lados de ambos cuadrados y rectángulos.
Usar los productos notables
Podemos calcular el área del cuadrado ABCD de dos maneras:
Primer método: el área de un cuadrado de lado a + b es: l2 = (a + b)2.
Segundo método: el área del cuadrado de lado a, en rojo, sumada al área de los dos rectángulos y al área del cuadrado de lado b, en amarillo; es decir: a² + ab + ab + b².
Por consiguiente: (a + b)² =  a² + 2ab + b². Esto es un trinomio cuadrado perfecto, es decir, el desarrollo del cuadrado de una suma.
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I. Los tres productos o igualdades notables

1. El cuadrado de un binomio
Las ecuaciones de abajo son ciertas, cualquiera que sea el signo de a y b. Así que, para cualquier valor de a y b se cumple que:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2;
(ab)2 = a2 – 2ab + b2.
Vamos a ver por qué (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. Observa:
Elevamos el binomio al cuadrado. Es decir, lo multiplicamos por sí mismo: (a + b)2 = (a + b) · (a + b). Aplicamos una doble distributiva:
Usar los productos notables
Y simplificamos la expresión a2 + ab + abb2 hasta llegar a la forma en la que se aprende: a2 + 2ab + b2.
Si quieres memorizarlo léelo así: “el cuadrado del primero, más el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo”: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.
Vamos ahora a ver el desarrollo (ab)2 = a2 – 2ab + b2.
Elevamos el binomio al cuadrado. Es decir, lo multiplicamos por sí mismo: (ab)2 = (ab) · (ab). Aplicamos una doble distributiva:
Usar los productos notables
Y simplificamos la expresión a2 – ab – abb2 hasta llegar a la forma en la que se aprende: a2 – 2ab + b2.
Si quieres memorizarlo léelo así: “el cuadrado del primero, menos el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo”: (ab)2 = a2 – 2ab + b2.
Nota: observa que el segundo miembro de ambas expresiones solo difiere en el signo del “doble producto”, 2ab, lo cual ayuda a su memorización.

2. El producto de una suma por una diferencia

a y b son dos números positivos. Un cuadrado pequeño de lado b ha sido eliminado de un cuadrado más grande de lado a.
Usar los productos notables
Calcularemos el área de los rectángulos amarillos usando dos métodos.

Primer método: encontrar la diferencia entre el área del cuadrado grande y la del pequeño, esto es, a² - b².
Segundo método: separar las áreas que quedan al eliminar el cuadrado pequeño y alinearlas para formar un rectángulo de dimensiones a + b y a – b, cuya área será igual a (a + b)(a - b).
Si ambos métodos llevan a la misma solución, podemos decir que:
a2 – b2 es igual que (a + b) (ab). Por tanto, a2 – b2 = (a + b)(ab).

II. Aplicaciones

1. Usar productos notables para simplificar expresiones
Simplifiquemos las siguientes expresiones: (2x + 3)², (3x – 4)² y (5x + 2)(5x – 2).
(2x + 3)² = (2x)² + 2 · 2x · 3 + 3² = 4x² + 12x + 9
(3x –  4)² = (3x)² – 2 · 3x · 4 + 4² = 9x² – 24x + 16
(5x + 2)(5x – 2) = (5x)² – 2² = 25x² – 4

2. Usar los productos notables para factorizar expresiones

Ejemplo 1: factorizar las siguientes expresiones: 9x² – 12x + 4; 81 – 9x² y 16x² + 24x + 9.
9x² – 12x + 4 = (3x)² – 2 · 3x · 2 + 2² = (3x – 2)²
81 – 9x² = 9² – (3x)² = (9 + 3x)(9 – 3x)
16x² + 24x + 9 = (4x)² + 2 · 4x · 3 + 3² = (4x + 3)²

Ejemplo 2: factorizar (2x + 1)² – (5x + 3)².
Aquí podemos observar una expresión del tipo a² – b², donde a es (2+ 1) y b es (5x + 3).
Recuerda que a2 – b2 = (a + b)(ab) y lo aplicamos: (2+ 1)2 – (5x + 3)2 = [(2+ 1) + (5x + 3)] · [(2+ 1) – (5x + 3)] y simplificando esta última expresión, (2+ 1 + 5x + 3) · (2+ 1 – 5x – 3) = (7+ 4) · (– 3x – 2).

3. Usar productos notables en operaciones de cálculo mental

Queremos calcular mentalmente: 53², 79² y 41 × 39.
Reescribimos cada operación para expresarla en forma de producto notable. Practiquémoslo mentalmente siguiendo estos pasos:
53² = (50 + 3)² = 50² + 2 × 50 × 3 + 3² = 2.500 + 300 + 9 = 2.809
79² = (80 – 1)² = 80² – 2 × 80 × 1 + 1² = 6.400 – 160 + 1 = 6.241
41 × 39 = (40 + 1)(40 – 1) = 40² – 1² = 1.600 – 1 = 1.599


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