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Simplificar expresiones algebraicas (2)
Cuando escribimos la expresión algebraica A = 5x – (3 + x) de la forma A = 4x – 3, decimos que hemos simplificado la expresión A. ¿Qué proceso hemos usado para hacer esto?
I. Reglas de cálculo
1. Factorizar una expresión algebraica
Propiedad: para factorizar o simplificar una expresión algebraica con paréntesis y productos, usamos la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma y de la resta.
Esta propiedad la podemos definir así: dados los números a, b y k, se cumple que:
ka + kb = k (a + b)
ka – kb = k (a – b)
Ejemplo: vamos a simplificar la expresión B = 13,3x – 4,28x.
Observamos que x es un factor común en los dos productos que aparecen en la expresión, por lo que podemos expresar B de la siguiente manera: B = 13,3x – 4,28x = (13,3 – 4,28)x = 9,02x.
Esta última es la expresión simplificada de B.
2. Eliminar paréntesis en una expresión algebraica
Regla: a, b, c y d representan cuatro números diferentes,
a + (b – c + d) = a + b – c + d
a – (b – c + d) = a – b + c – d
En otras palabras:
—si los paréntesis van precedidos por el signo +, “conservamos” los signos de los términos que están entre paréntesis;
—si los paréntesis están precedidos del signo –, “cambiamos” el signo de todos y cada uno de los términos que hay entre paréntesis.
II. Ejemplos de simplificación
1. Ejemplo 1
A = 3x – (2 + 7x)
Primero eliminamos los paréntesis y después agrupamos los términos en x: A = 3x – 2 – 7x = 3x – 7x – 2.
Sacamos factor común a x y nos queda: A = (3 – 7)x – 2 = –4x – 2
Finalmente, la forma simplificada de A es: –4x – 2.
2. Ejemplo 2
B = x² – (3 –x + 5x²)
Primero eliminamos los paréntesis: B = x² – 3 + x – 5x²
Agrupamos los términos semejantes (aquellos que tienen la x²): B = x² – 5x² + x – 3.
Sacamos factor común a x² y obtenemos: B = (1 – 5) x² + x – 3
Finalmente, la forma simplificada de B es: –4x² + x – 3.
3. Ejemplo 3
C = x (3 – 2x) + 5 (x – 2)
Comenzamos eliminando los paréntesis aplicando la propiedad distributiva: C = 3x – 2xx + 5x – 5 · 2.
Reemplazamos xx por x² y 5 · 2 por 10 (siguiendo las reglas de jerarquía de las operaciones); después agrupamos términos semejantes (aquellos que tienen la x): C = 3x + 5x – 2x² – 10.
Sacamos factor común a x y tenemos que C = (3 + 5) x – 2x² – 10 y, por tanto, C = 8x – 2x² – 10.
Finalmente, la forma simplificada y ordenada de C es: –2x² + 8x – 10.
4. Ejemplo 4
Aplicamos la propiedad distributiva:
Lo podemos expresar así si queremos dejar indicadas todas las operaciones, pero también podemos expresarlo como:
Y después simplificamos 
y obtenemos:
Agrupamos términos semejantes (aquellos que tienen la x) y obtenemos:
Sacamos factor común a x en 
:
Calculamos las sumas en los paréntesis, reduciendo las fracciones a común denominador:
Finalmente, una forma simplificada de D es: 
.
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