Funciones y cálculos con expresiones algebraicas

Funciones y cálculos con expresiones algebraicas


Una función que contiene un término en el que la variable está elevada al cuadrado, o una función que es cociente de dos funciones afines se puede pasar a su forma “canónica” y expresarla como la composición de varios operadores, determinando los intervalos en los que cada uno de estos operadores es creciente o decreciente.

I. Estudio de una función con una incógnita elevada al cuadrado

Si en una función la incógnita está elevada al cuadrado, la función se escribe en forma canónica: Funciones y cálculos con expresiones algebraicas. Esta forma nos permite volver a escribir la función como la composición de una serie de operadores y hallar sus imágenes sucesivas.
Ejemplo:
Si f es el polinomio Funciones y cálculos con expresiones algebraicas, lo podemos expresar como Funciones y cálculos con expresiones algebraicas.
Buscamos ahora que dentro del paréntesis quede un cuadrado perfecto (el cuadrado de una suma). Para ello, desarrollamos:
Funciones y cálculos con expresiones algebraicas.
Así pues, obtenemos: Funciones y cálculos con expresiones algebraicas
o Funciones y cálculos con expresiones algebraicas
por tanto, Funciones y cálculos con expresiones algebraicas.
Comprobamos que la función f, definida en el intervalo [-5, 2] como Funciones y cálculos con expresiones algebraicas, alcanza su valor mínimo f(x) = –3,5 cuando el paréntesis elevado al cuadrado es cero, lo que sucede para x = -1,5.
La tabla de variación es:
Funciones y cálculos con expresiones algebraicas
Completamos una tabla de valores para dibujar la curva:
Funciones y cálculos con expresiones algebraicas
Funciones y cálculos con expresiones algebraicas

II. Resolución de una ecuación o una inecuación con una incógnita elevada al cuadrado

Para resolver una ecuación que contiene un término con la incógnita elevada al cuadrado, la convertimos en una expresión de la forma Funciones y cálculos con expresiones algebraicas. Puesto que al elevar al cuadrado dos números iguales pero con signos opuestos se obtiene el mismo resultado,
Funciones y cálculos con expresiones algebraicases equivalente a Funciones y cálculos con expresiones algebraicaso Funciones y cálculos con expresiones algebraicas.
Ejemplo:
La expresión Funciones y cálculos con expresiones algebraicasequivale a x - 1 = 3, de donde x = 4, o a x - 1 = -3, de donde x = -2. El conjunto de soluciones es S = {-2, 4}.
Para resolver una inecuación que contiene un término con la incógnita elevada al cuadrado pasamos todos los términos a un miembro y, si es posible, factorizamos en producto de factores de primer grado.
Podemos entonces determinar el conjunto de soluciones usando una tabla de signos.
Ejemplo:
Para resolver Funciones y cálculos con expresiones algebraicashacemos Funciones y cálculos con expresiones algebraicas.
Puesto que una diferencia de cuadrados es igual a suma por diferencia, Funciones y cálculos con expresiones algebraicas, tendremos: Funciones y cálculos con expresiones algebraicas, que queda Funciones y cálculos con expresiones algebraicas.
Usando una tabla de signos:
Funciones y cálculos con expresiones algebraicas
Vemos que el producto es negativo o cero en el intervalo [-2, 4], por tanto, S = [-2, 4].

.III. Estudio de una función cociente de dos funciones afines

Si una función es igual al cociente de dos funciones afines, la escribimos en forma canónica como Funciones y cálculos con expresiones algebraicas. Esta forma nos permite escribir la función como la composición de una serie de operadores y hallar sus imágenes sucesivas.
Ejemplo:
Si f es una función definida en [1,5, 6] como Funciones y cálculos con expresiones algebraicas, podemos escribir
Funciones y cálculos con expresiones algebraicas, es decir, Funciones y cálculos con expresiones algebraicas.
La función f, definida en [1,5, 6] como Funciones y cálculos con expresiones algebraicas, es decreciente en todo su intervalo de definición, ya que al descomponerla en operadores, Funciones y cálculos con expresiones algebraicas, aparece la función inversa o recíproca, que es siempre decreciente.
Dibujamos la curva a partir de una tabla de valores:
Funciones y cálculos con expresiones algebraicas

IV. Resolución de una ecuación o una inecuación con la incógnita en el denominador

—En el caso de una ecuación, multiplicamos en cruz para eliminar los denominadores.
Ejemplo:
Si Funciones y cálculos con expresiones algebraicas, resolver la ecuación Funciones y cálculos con expresiones algebraicases equivalente a resolver Funciones y cálculos con expresiones algebraicas.
Operando: Funciones y cálculos con expresiones algebraicas, o Funciones y cálculos con expresiones algebraicas, de donde x = 3.
El conjunto de soluciones es S = {3}.
—En el caso de una inecuación, pasamos todos los términos a un miembro y, si es posible, la expresamos como un cociente de factores de primer grado. A partir de ahí podemos deducir el conjunto de soluciones usando una tabla de signos.
Ejemplo:
Si Funciones y cálculos con expresiones algebraicas, resolver la inecuación Funciones y cálculos con expresiones algebraicases equivalente a resolver Funciones y cálculos con expresiones algebraicas.
Reduciendo a común denominador, obtenemos: Funciones y cálculos con expresiones algebraicas, o Funciones y cálculos con expresiones algebraicas.
Finalmente, usamos una tabla de signos:
Funciones y cálculos con expresiones algebraicas
El cociente es negativo o cero en el intervalo (0, 3], de forma que Funciones y cálculos con expresiones algebraicas.
Recuerda
—La tabla de variación de una función con una incógnita elevada al cuadrado se construye a partir de la forma canónica Funciones y cálculos con expresiones algebraicas. Si Funciones y cálculos con expresiones algebraicas, el coeficiente del término elevado al cuadrado, es negativo, entonces Funciones y cálculos con expresiones algebraicases un máximo y se alcanza para Funciones y cálculos con expresiones algebraicas. Si Funciones y cálculos con expresiones algebraicases positivo, entonces Funciones y cálculos con expresiones algebraicases un mínimo y también se alcanza para Funciones y cálculos con expresiones algebraicas.
—La ecuación Funciones y cálculos con expresiones algebraicastiene dos soluciones: Funciones y cálculos con expresiones algebraicaso Funciones y cálculos con expresiones algebraicas.
—Para resolver una inecuación con la incógnita elevada al cuadrado, pasamos todos los términos a uno de los dos miembros de la inecuación. Descomponiendo la expresión resultante en factores de primer grado, podemos usar una tabla de signos para determinar el conjunto de soluciones.
—Para resolver una ecuación en la que la incógnita está en el denominador, multiplicamos en cruz, para eliminar los denominadores.
—Para resolver una inecuación con la incógnita en el denominador, pasamos todos los términos a un miembro. Expresando el numerador y el denominador como producto de factores de primer grado, podemos usar una tabla de signos para determinar el conjunto de soluciones. Tenemos que tener cuidado y excluir del conjunto de soluciones aquellos valores que anulan el denominador.








Mas informacion en : Ecuaciones lineales y cuadraticas Estadistica y Probabilidad , introduccion, desarrollo y ejercicios Concepto de plano cartesiano Radicacion Teorema de pitagoras su demostracion y ejemplos Trigonometria basica y sus elementos