Resolver una ecuacion de segundo grado

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Una ecuación de segundo grado es aquella ecuación en la que la incógnita está elevada al cuadrado. Pero para que esta afirmación sea cierta, la ecuación tiene que estar simplificada al máximo. Por ejemplo, la ecuación (x - 7)² - (1 + x)² = 2(3x - 4) no es de segundo grado, ya que si la simplificamos obtenemos una ecuación de primer grado: 49 – 14x – 1 – 2x = 6x – 8. Es decir, la x2 desaparece durante la simplificación. Entonces, ¿cómo podemos saber si una ecuación es de segundo grado?

I. Definición y tipos

1. Definición

Una ecuación de segundo grado es aquella en la que la incógnita aparece elevada al cuadrado, es decir, no tiene términos de mayor grado. Y al simplificarla, su forma más compleja siempre se podrá expresar según esta estructura: ax2 + bx + c = 0.
Cuando una ecuación de segundo grado la expresamos de esta forma, decimos que la hemos escrito en su forma general.

Notas:
—a, b y c son valores numéricos conocidos y reciben el nombre de coeficientes.
—El coeficiente a ≠ 0.
—El coeficiente c también recibe el nombre de término independiente.
—Resolver una ecuación de segundo grado consiste en encontrar las raíces del polinomio del primer miembro de la ecuación (escrita en su forma general). En otras palabras, encontrar cuáles son los valores de x que hacen que el valor numérico de la expresión sea cero.

2. Ecuaciones de segundo grado incompletas

Al igual que sucede con los polinomios, puede ocurrir que en una ecuación de segundo grado falte alguno de sus términos. No por ello deja de ser una ecuación de grado dos, mientras conserve el término ax2. Es decir, si los coeficientes b o c toman el valor cero estaremos ante una ecuación de segundo grado incompleta.

Ecuación de segundo grado incompleta del tipo ax2 = 0. Podemos escribir esta ecuación de la forma siguiente: x · (a · x) = 0. De lo que deducimos que x = 0, o a · x = 0, y como a ≠ 0, entonces x = 0. Es decir, esta ecuación tiene dos soluciones, que son la misma: x = 0.

Ecuación de segundo grado incompleta del tipo ax2 + bx = 0. Resolvemos sacando factor común a x; de ese modo obtenemos que x · (ax + b) = 0. Si observamos esta expresión, tenemos dos factores que multiplicados son igual a cero, por lo que tenemos dos posibles soluciones:
—que x sea cero: por lo tanto ya tenemos una de las soluciones, x1 = 0;
—que ax + b = 0: por lo que ax = –b; por lo tanto, la otra solución será:
Resolver una ecuación de segundo grado

Ejemplo: resuelve la siguiente ecuación de segundo grado: 4x2 – 12x = 0.

Solución: sacando factor común a x, x · (4x – 12) = 0, de donde:
Resolver una ecuación de segundo grado

 

Ecuación de segundo grado incompleta del tipo ax2 + c = 0. Resolvemos despejando: ax2 = –c;
Resolver una ecuación de segundo gradoResolver una ecuación de segundo grado; Resolver una ecuación de segundo grado
Por lo que obtenemos dos posibles soluciones:
Resolver una ecuación de segundo grado

 

Ejemplo: resuelve la siguiente ecuación de segundo grado: 7x2 – 28 = 0.
Solución:
Resolver una ecuación de segundo grado

 

3. Ecuación de segundo grado completa

Ya hemos visto que la forma general de una ecuación de segundo grado completa es ax2 + bx + c = 0.

Vamos a intentar resolverla. Para ello, vamos a realizar dos operaciones aparentemente arbitrarias, pero que tienen como objetivo dejar el primer miembro de la ecuación como el desarrollo del cuadrado de una suma. Es decir, como una expresión del tipo: a2 + b2 + 2ab.


Resolver una ecuación de segundo grado

Ejemplo 1: resuelve la siguiente ecuación de segundo grado: 6x2 – x – 1 = 0.
Solución:


Resolver una ecuación de segundo grado


Las soluciones de la ecuación 6x2 – x – 1 = 0, son:


Resolver una ecuación de segundo grado
Ejemplo 2: resuelve esta ecuación de segundo grado:
Resolver una ecuación de segundo grado
Solución:
—Simplificamos la ecuación hasta dejarla expresada en su forma general: Resolver una ecuación de segundo grado; x · (6x + 16) = 9 + x; 6x2 + 16x = 9 + x; 6x2 + 16x – x – 9 = 0; 6x2 + 15x – 9 = 0
—Aplicamos la fórmula:


Resolver una ecuación de segundo gradoResolver una ecuación de segundo gradoResolver una ecuación de segundo grado
Y obtenemos:


Resolver una ecuación de segundo grado
—Las soluciones de la ecuación Resolver una ecuación de segundo grado, son:


Resolver una ecuación de segundo grado

4. Análisis del discriminante y los tipos de soluciones de una ecuación de segundo grado

Se denomina discriminante al radicando de la fórmula general. Es decir, la expresión contenida dentro de la raíz cuadrada que forma parte de la fórmula: b2 – 4 · a · c.

El valor del radicando de la raíz cuadrada va a condicionar el posible resultado de la misma. Un rápido análisis del valor de esta expresión, del discriminante, nos puede dar mucha información acerca de cómo van a ser las soluciones de la ecuación que tengamos delante. Veamos:
—Si el valor numérico del discriminante es mayor que cero, entonces la raíz cuadrada se podrá

calcular. La raíz cuadrada tendrá dos soluciones y, por lo tanto, la ecuación también tendrá dos soluciones.
—Si el discriminante es cero, la ecuación tendrá una sola solución. Ya que solo dependerá del valor de Resolver una ecuación de segundo grado.

—Si el valor del discriminante es negativo, ya hemos visto que la raíz cuadrada no tendría solución y en consecuencia la ecuación tampoco.

Ejemplo 1: comprueba cuántas soluciones tiene la ecuación x2 – x – 6 = 0.

Solución: calculamos el valor del discriminante: (–1)2 –4 · 1 · (–6) = 1 + 24 = 25. Se trata de un número mayor que cero, por lo que la ecuación tendrá dos soluciones diferentes.
Ejemplo 2: comprueba cuántas soluciones tiene la ecuación 3x2 – 6x + 3 = 0.
Solución: calculamos el valor del discriminante: (–6)2 – 4 · 3 · 3 = 36 – 36 = 0. La raíz cuadrada de cero es cero, luego la solución quedaría:
Resolver una ecuación de segundo grado

Es decir, esta ecuación tiene una sola solución, el 1.

Ejemplo 3: analiza cuántas soluciones tiene la ecuación 5x2 - 2x + 1 = 0.
Solución: calculamos el valor del discriminante: (–2)2 – 4 · 5 · 1 = 4 – 20 = – 16. La raíz cuadrada de –16 no tiene solución, luego esta ecuación no tiene solución en el conjunto de los números reales.

II. Propiedades de las soluciones de una ecuación de segundo grado

1. Suma de las soluciones de una ecuación de segundo grado
Ya hemos visto que en una ecuación de segundo grado, x1 y x2 son:
Resolver una ecuación de segundo grado
Vamos a ver qué ocurre cuando las sumamos:
Resolver una ecuación de segundo grado; expresamos con un solo denominador:
Resolver una ecuación de segundo grado; reordenamos el numerador:
Resolver una ecuación de segundo grado; sumamos, teniendo en cuenta que:
Resolver una ecuación de segundo grado= 0. Luego, nos queda:
Resolver una ecuación de segundo grado.
Por lo tanto, la suma de las soluciones de una ecuación de segundo grado es:
Resolver una ecuación de segundo grado
Ejemplo: dada la ecuación 3x2 + 2x + 1 = 0, calcula el valor de la suma de sus soluciones.
Solución: como sabemos que Resolver una ecuación de segundo grado, entonces:
Resolver una ecuación de segundo grado

2. Producto de las soluciones de una ecuación de segundo grado

Tenemos que las soluciones de una ecuación de segundo grado son:
Resolver una ecuación de segundo grado
Vamos a ver qué ocurre cuando las multiplicamos:
Resolver una ecuación de segundo grado; multiplicamos:
Resolver una ecuación de segundo grado; tenemos en el numerador una suma por una diferencia (diferencia de cuadrados):
Resolver una ecuación de segundo grado; resolvemos:
Resolver una ecuación de segundo grado
Por lo tanto, el producto de las soluciones de una ecuación de segundo grado es:
Resolver una ecuación de segundo grado
Ejemplo: dada la ecuación 3x2 + 2x + 1 = 0, calcula el valor del producto de sus soluciones.
Solución: como sabemos que Resolver una ecuación de segundo grado, entonces:
Resolver una ecuación de segundo grado
3. Dadas las soluciones de una ecuación de segundo grado, construir la ecuación
Vistas las dos propiedades anteriores:
Resolver una ecuación de segundo grado
El uso de estas propiedades nos permitirá construir una ecuación conociendo sus soluciones. Vamos a verlo con un ejemplo.
Ejemplo 1: escribe una ecuación de segundo grado que tenga por soluciones:
Resolver una ecuación de segundo grado
Aplicando la propiedad de la suma, tenemos que:
Resolver una ecuación de segundo grado; Resolver una ecuación de segundo grado
Aplicando la propiedad del producto:
Resolver una ecuación de segundo grado; Resolver una ecuación de segundo grado
tenemos que calcular los tres coeficientes de la ecuación a partir de estas dos igualdades:
Resolver una ecuación de segundo grado
Para ello, damos un valor cualquiera a a, por ejemplo a = 3, y obtenemos b = –16 y c = 5.
Por lo tanto, una ecuación de segundo grado que tiene las siguientes soluciones:
Resolver una ecuación de segundo grado
será: 3x2 – 16x + 5 = 0.
Podemos comprobarlo resolviendo la ecuación:
Resolver una ecuación de segundo grado

Nota: también podemos escribir una ecuación de segundo grado si nos dan una de las soluciones y uno de los coeficientes de la ecuación.

Ejemplo 2: escribe una ecuación de segundo que tenga por solución x1 = 5 y cuyo coeficiente de x, b, sea igual a –3.

Por la propiedad de la suma de las soluciones, sabemos que:
Resolver una ecuación de segundo grado; Resolver una ecuación de segundo grado
Por la propiedad del producto, podemos escribir que:
Resolver una ecuación de segundo grado; Resolver una ecuación de segundo grado
Igualando las dos ecuaciones, tenemos que:
Resolver una ecuación de segundo grado; Resolver una ecuación de segundo grado;
Es decir, c = 15 – 25a. Y si hacemos a = 1, entonces: c = 15 – 25; c = -10.
La ecuación podría ser: x2 – 3x – 10 = 0.

III. Interpretación gráfica de las soluciones de una ecuación de segundo grado

Al igual que ocurría con las ecuaciones de primer grado, las cuales podían ser representadas gráficamente como funciones lineales o afines, las ecuaciones de segundo grado también pueden ser representadas en los ejes de coordenadas cartesianas.
Cuando una ecuación de segundo grado es expresada en forma de función (f(x) = ax2 + bx + c), recibe el nombre de función cuadrática. Veamos mediante un ejemplo las principales características de la función cuadrática.
Ejemplo: representa la función: Resolver una ecuación de segundo grado.
Solución: creamos una tabla de valores para la función y la representamos gráficamente:
Resolver una ecuación de segundo grado

Notas:
—Como podemos comprobar, la representación gráfica de una función cuadrática es una curva, a la que llamamos parábola.

—También podemos apreciar el valor de la abscisa de los puntos (–6, 0) y (4, 0), allí donde la parábola corta al eje de abscisas. Se trata de los valores de x que hacen que el valor de la función sea cero:
Resolver una ecuación de segundo grado

Es decir, serían las soluciones de la ecuación correspondiente de segundo grado.

—Si observamos el lugar donde la parábola corta al eje de ordenadas, comprobaremos que se trata del punto (0, –12). Y el valor –12 es, precisamente, el valor del término independiente de la ecuación de segundo grado.

Por último, vamos a resolver analíticamente la ecuación de segundo grado para comprobar la validez de las soluciones obtenidas gráficamente:


Resolver una ecuación de segundo grado
Resolver una ecuación de segundo grado


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