Resolver una ecuación del tipo (ax+b)(cx+d) = 0

Una ecuación de este tipo parece muy difícil de resolver, pero gracias a que el producto de los paréntesis es igual a cero, en realidad se trata de una ecuación que podemos resolver fácilmente. En este tema vamos a ver ecuaciones con una sola incógnita.

I. Descripción Las ecuaciones de este tipo las podríamos representar de la siguiente forma: A × B = 0; en el primer miembro hay dos elementos que se multiplican y el segundo miembro es cero. A y B representan cada uno un paréntesis que suele contener una expresión algebraica de primer grado y de una sola incógnita. Es decir, son de la forma “axb”: x es la incógnita; a y b son valores constantes. Ejemplo: Resolver una ecuación del tipo (ax+b)(cx+d) = 0 Nota: podemos ampliar el contenido de esta descripción diciendo que también es válida sea cual sea el número de factores que haya en el primer miembro. Así que lo que estudiemos a partir de ahora también podremos aplicarlo a ecuaciones con mayor número de factores en el primer miembro, es decir, con una estructura tipo: A × B × C = 0 o A × B × C × D = 0, etc. Trabajaremos con ejemplos de dos factores, con el fin de simplificar el estudio de este tipo de ecuaciones.

II. Resolución Para resolver este tipo de ecuaciones vamos a hacer uso de las siguientes propiedades del álgebra: —si un producto de factores es cero, entonces, como mínimo, uno de ellos tiene que ser cero; —si uno de los factores de un producto es cero, entonces el producto es cero. A partir de estas propiedades podemos decir que si A × B = 0, entonces A = 0 o B = 0, y también, si A = 0 o B = 0, entonces A × B = 0. Resumiendo, A × B = 0, de manera que A = 0 o B = 0. Resolver una ecuación de este tipo (A × B = 0) es lo mismo que resolver dos ecuaciones por separado: A = 0 y B = 0.

III. Ejemplos numéricos Ejemplo 1: resuelve la ecuación (5x + 1)(2x – 4) = 0. Si (5x + 1)(2x – 4) = 0, puede ser que 5x + 1 = 0, o bien que 2x – 4 = 0. Vamos a resolver estas dos ecuaciones en paralelo, cada una en una columna de esta tabla:

Resolver una ecuación del tipo (ax+b)(cx+d) = 0

De manera que hay dos posibles soluciones para esta ecuación: Resolver una ecuación del tipo (ax+b)(cx+d) = 0y 2. Nota: mientras una ecuación sencilla, con una incógnita, tiene una sola solución, aquí tenemos un ejemplo de una ecuación que tiene dos soluciones. Ejemplo 2: resuelve la ecuación (3x – 2)² = 0. A partir de aquí (3x – 2)² = 0, tenemos que (3x – 2)(3x – 2) = 0; es decir, ambos factores A y B son idénticos, por tanto:  3x – 2 = 0 3x = 2 Resolver una ecuación del tipo (ax+b)(cx+d) = 0 Así que la ecuación tiene una única solución: Resolver una ecuación del tipo (ax+b)(cx+d) = 0. IV. Un ejemplo en geometría La figura de abajo nos muestra un cuadrado CEFH cuyo lado es x. Supongamos que x es un número igual o mayor que 5. Los cuadriláteros ABCD, GFED y GHBA son rectángulos. Nos dan como datos BC = 5 y DE = 3. Las longitudes están en centímetros. ¿Para qué valor o valores de x el área del rectángulo GHBA vale cero? Dicho de otra forma: ¿cuánto debería valer x para que el área del rectángulo GHBA valga cero?

Resolver una ecuación del tipo (ax+b)(cx+d) = 0

HB = x – 5 y AB = x + 3. Para hallar su área multiplicamos la base por la altura. Por tanto, el área del rectángulo GHBA es: (x – 5)(x + 3). Si queremos que esta área sea cero, entonces (x – 5)(x + 3) = 0. Por lo que tenemos una ecuación del tipo A × B = 0. Resolvemos:

Resolver una ecuación del tipo (ax+b)(cx+d) = 0

Así que esta ecuación tiene dos soluciones: 5 y – 3. x es una longitud y, por lo tanto, ha de ser obligatoriamente un número positivo (las longitudes no pueden tener valores negativos). En consecuencia, la única solución válida para este problema es 5. Conclusión: el área del rectángulo GHBA es cero para ysolo para x = 5.


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