Resolver ecuaciones del tipo a+x = b o ax = b

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Si necesitamos completar una igualdad como 3 + ... = 5, escribiendo el valor que falta en el “hueco”, escribiremos un 2, quedando: 3 + 2 = 5. La misma cuestión se puede plantear de otra forma: necesitamos hallar un número x tal que 3 + x = 5. Podemos decir que 3 + x = 5 es una ecuación.
¿Cómo resolvemos ecuaciones del tipo a + x = b, por ejemplo 3 + x = 5, o ecuaciones del tipo ax = b, por ejemplo 2x = 8?

I. El lenguaje de las ecuaciones

3 + = 5 es una ecuación con una incógnita, x. Podemos usar cualquier letra para la incógnita, aunque se suelen utilizar la x, la y, la z y la t.

Resolver una ecuación, por ejemplo 3 + x = 5, es hallar un número que podemos escribir en lugar de la x para obtener una igualdad. En el ejemplo anterior, 2 es el número que nos permite obtener una igualdad (3 + 2 = 5); a este número se le llama solución de la ecuación.
Nota: las ecuaciones que estudiamos en este tema tienen una única solución. Sin embargo, hay ecuaciones que tienen varias soluciones y ecuaciones que no tienen ninguna solución.

Por ejemplo:
—la ecuación x = x tiene un número infinito de soluciones: podemos sustituir la x por cualquier número;
—la ecuación 0x = 1 no tiene solución.

 

II. Resolver ecuaciones del tipo a + x = b

1. Regla
Podemos sumar o restar el mismo número a los dos miembros de una ecuación: obtenemos una nueva ecuación que tiene las mismas soluciones.

2. Ejemplos
Ejemplo 1: queremos resolver la ecuación: 5,4 + x = 2.
Restamos 5,4 a ambos lados de la ecuación: 5,4 + x - 5,4 = 2 - 5,4.
Se puede cambiar el orden de los términos de una suma: 5,4 - 5,4 + x = 2 - 5,4.
Puesto que 5,4 - 5,4 = 0, obtenemos: x = 2 - 5,4.
Y finalmente: x = -3,4.
El número -3,4 es la solución de la ecuación 5,4 + = 2.
Comprobemos que se cumple la igualdad: como 5,4 + (-3,4) = 5,4 - 3,4 = 2, tenemos pues que 5,4 + (-3,4) = 2.
Ejemplo 2: queremos resolver la ecuación: .
Primero sumamos Resolver ecuaciones del tipo a+x = b o ax = ba los dos miembros de la ecuación, y a continuación efectuamos los cálculos: .
Reducimos Resolver ecuaciones del tipo a+x = b o ax = by Resolver ecuaciones del tipo a+x = b o ax = ba común denominador, y queda: Resolver ecuaciones del tipo a+x = b o ax = b, de donde Resolver ecuaciones del tipo a+x = b o ax = b.
La ecuación tiene al número Resolver ecuaciones del tipo a+x = b o ax = bpor solución.
Comprobemos que se cumple la igualdad: como  , tenemos pues que .

 

III. Resolver ecuaciones del tipo ax = b
1. Regla
Podemos multiplicar o dividir los dos miembros de una ecuación por el mismo número: obtenemos una nueva ecuación que tiene las mismas soluciones.
2. Ejemplos
Ejemplo 1: queremos resolver la ecuación: 3x = 7.
Dividimos entre 3 los dos miembros de la ecuación: Resolver ecuaciones del tipo a+x = b o ax = b.
Puesto que , la ecuación anterior se puede escribir así: Resolver ecuaciones del tipo a+x = b o ax = b.
Así pues, Resolver ecuaciones del tipo a+x = b o ax = bes la solución de la ecuación 3x = 7.
Comprobemos que se cumple la igualdad: como  , tenemos pues que .
Ejemplo 2: queremos resolver la ecuación: .
Multiplicamos por Resolver ecuaciones del tipo a+x = b o ax = b los dos miembros de la ecuación: .
Puesto que , la ecuación anterior se puede escribir así: Resolver ecuaciones del tipo a+x = b o ax = b , es decir, Resolver ecuaciones del tipo a+x = b o ax = b.
La ecuación tiene entonces por solución: Resolver ecuaciones del tipo a+x = b o ax = b.
Comprobemos que se cumple la igualdad: como  , tenemos pues que .