Ordenar números y valores absolutos

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Ordenar números y valores absolutos



Vamos a repasar y completar las reglas que rigen para las inecuaciones. Es esencial dominar estas reglas porque las inecuaciones son una de las principales herramientas del análisis, la rama de las matemáticas dedicada al estudio de las funciones. 
I. Definir distintos tipos de intervalo
Sean a y b dos números reales tales que Ordenar números y valores absolutos.
El intervalo cerrado Ordenar números y valores absolutoses el conjunto de los números reales x tales que Ordenar números y valores absolutos
El intervalo abierto Ordenar números y valores absolutoses el conjunto de los números reales x tales que a < x < b.
El intervalo abierto Ordenar números y valores absolutoses el conjunto de los números reales x tales que x < a.
El intervalo semiabierto (o semicerrado) Ordenar números y valores absolutoses el conjunto de los números reales x tales que Ordenar números y valores absolutos.
También definimos los intervalos Ordenar números y valores absolutosOrdenar números y valores absolutosOrdenar números y valores absolutosOrdenar números y valores absolutos.
Podemos escribir el conjunto R como Ordenar números y valores absolutos.
La intersección de dos intervalos I y J es el intervalo formado por los números que pertenecen a la vez a I y a J.
La unión de dos intervalos I y J es el conjunto de números que pertenecen a I o a J (es decir, aquellos números que pertenecen a I, o a J, o a ambos a la vez). Si I y J tienen al menos un elemento en común, entonces Ordenar números y valores absolutoses un intervalo.
Ejemplo: si Ordenar números y valores absolutosOrdenar números y valores absolutos, entonces: Ordenar números y valores absolutosOrdenar números y valores absolutos.
II. Comparar números
Decir que a es menor o igual que b significa que la diferencia b - a es positiva o cero. Lo escribimos así: Ordenar números y valores absolutoses equivalente a Ordenar números y valores absolutos.
Así pues, para comparar dos números hemos de fijarnos en el signo de su diferencia.
Para comparar:
—dos números a y b, estudiamos el signo de su diferencia;
—dos fracciones, las reducimos a común denominador y comparamos los numeradores como acabamos de ver;
—dos raíces cuadradas, hemos de comparar sus valores al elevarlos al cuadrado. 
Algunas reglas fundamentales:
Dos números tienen el mismo signo si y solamente si su producto es positivo.
—si a > 1, entonces Ordenar números y valores absolutos.
—si 0 < a < 1, entonces Ordenar números y valores absolutos.
Para tres números reales cualesquiera ab y c, si Ordenar números y valores absolutosOrdenar números y valores absolutos, entonces Ordenar números y valores absolutos.
III. Cómo operar en las inecuaciones
Tenemos que saber cómo “transformar” una inecuación mediante operaciones elementales.
Sean a, b, c y d cuatro números reales cualesquiera.
—Al sumar o restar un número a ambos lados de una inecuación no se modifica el signo de la inecuación. Si Ordenar números y valores absolutos, entonces Ordenar números y valores absolutos.
—Al multiplicar o dividir una inecuación por un número positivo, no se modifica el signo de la inecuación. Si Ordenar números y valores absolutosk > 0, entonces Ordenar números y valores absolutos.
—Al multiplicar o dividir una inecuación por un número negativo, cambia el signo de la inecuación. Si Ordenar números y valores absolutosk < 0, entonces Ordenar números y valores absolutos.
—Si se suman los miembros homólogos de dos inecuaciones del mismo tipo, se obtiene otra inecuación del mismo tipo. Si Ordenar números y valores absolutosOrdenar números y valores absolutos, entonces Ordenar números y valores absolutos.
—Si los números de dos inecuaciones son positivos, al multiplicar los miembros homólogos de ambas se obtiene una tercera inecuación del mismo tipo. Si Ordenar números y valores absolutosOrdenar números y valores absolutos, entonces Ordenar números y valores absolutos.
IV. Calcular el valor absoluto de un número real
Sea un número real. Si lo representamos sobre la recta de los números reales (recta real) nos dará un punto que llamamos M.
Se define el valor absoluto de x como la distancia entre los puntos O y M, y se escribe así: Ordenar números y valores absolutos.
Conclusiones: 
Si x es un número positivo, su valor absoluto es él mismo: Ordenar números y valores absolutos.
Si x es un número negativo, su valor absoluto es su opuesto: Ordenar números y valores absolutos.
Ordenar números y valores absolutos 
Si y son dos números reales cualesquiera, se cumplen las siguientes propiedades:
—para cualquier número real Ordenar números y valores absolutosOrdenar números y valores absolutoses un número positivo. Ordenar números y valores absolutosimplica que Ordenar números y valores absolutos.
— Ordenar números y valores absolutos.
— Ordenar números y valores absolutosimplica que Ordenar números y valores absolutoso que Ordenar números y valores absolutos.
— Ordenar números y valores absolutosy, para cualquier valor Ordenar números y valores absolutosOrdenar números y valores absolutos.
— Ordenar números y valores absolutos, que se conoce como “inecuación triangular”.
V. Cómo operar con valores absolutos
Sean a y b dos números reales correspondientes a los valores de dos puntos A y B representados sobre la recta real. La distancia entre b es la distancia entre los puntos B. Esto se escribe así: Ordenar números y valores absolutos
Que sobre la recta real sería: Ordenar números y valores absolutos
Ordenar números y valores absolutos 
Resulta útil expresar o representar valores absolutos en términos de distancias para resolver ecuaciones e inecuaciones que contienen valores absolutos.
Por ejemplo, sea a un número real y r un número real positivo.
La ecuación Ordenar números y valores absolutosse puede expresar:
—en términos de distancia como Ordenar números y valores absolutos;
—en un esquema:
Ordenar números y valores absolutos 
—usando las reglas de análisis Ordenar números y valores absolutosOrdenar números y valores absolutos.
La inecuación Ordenar números y valores absolutosse puede expresar:
—en términos de distancia como Ordenar números y valores absolutos;
—en un esquema:
Ordenar números y valores absolutos 
—usando las reglas de análisis Ordenar números y valores absolutos, que también se puede escribir así: Ordenar números y valores absolutos.
VI. Resumen
—Para comparar dos números a y b, estudiamos el signo de su diferencia.
—El valor absoluto de un número positivo es él mismo. El valor absoluto de un número negativo es su opuesto.
—La distancia entre dos números reales a y b es igual al valor absoluto de su diferencia, lo que se escribe así: Ordenar números y valores absolutos.