Realizar operaciones con raíces cuadradas





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Realizar operaciones con raíces cuadradas


Los matemáticos de la antigua Grecia solo conocían los números racionales (es decir, los que se pueden expresar como fracciones o cocientes de enteros), pero también demostraron que un cuadrado cuyo lado tuviese una longitud de 1, ¡tiene una diagonal cuya longitud no es un número racional! Esto arrojó sobre ellos un gran dilema. En la actualidad, sabemos que un cuadrado de lado 1 tiene una diagonal cuya longitud es exactamente Realizar operaciones con raíces cuadradas. El símbolo Realizar operaciones con raíces cuadradas, llamado radical, nos permite escribir ciertos números (las raíces cuadradas) de una forma más exacta, y nos permite realizar cálculos con estos números. La notación Realizar operaciones con raíces cuadradas, la cual data de finales del siglo XV, es debida al alemán Michel Stifel.

I. Definición de raiz cuadrada

La raíz cuadrada de un número a, que se expresa como Realizar operaciones con raíces cuadradas, es otro número b tal que b2 = a.
Ejemplo: Realizar operaciones con raíces cuadradas, porque 32 = 9
Pero sabemos que no solo 32 = 9, sino que (-3)2 = 9, por lo que:
Realizar operaciones con raíces cuadradas
Es decir, toda raíz cuadrada tiene dos soluciones distintas: una positiva y otra negativa.

II. Ejemplos de aplicación

1. Calcular la longitud de un lado de un triángulo rectángulo
Realizar operaciones con raíces cuadradases un triángulo rectángulo, con el ángulo recto en R, tal que MR = 3 m y RP = 2 m. Queremos calcular el valor exacto de la longitud MP.
Realizar operaciones con raíces cuadradas
Como el triángulo Realizar operaciones con raíces cuadradases rectángulo, podemos aplicar el teorema de Pitágoras:
MP2 = MR2 + RP2, y sustituyendo, MP2 = 32 + 22, de lo cual obtenemos que MP2 = 13.
MP describe una longitud, por consiguiente es un número positivo; por este motivo, en este caso solo será válida la solución positiva de la raíz. Podemos deducir que el valor exacto de MP es Realizar operaciones con raíces cuadradasm.
2. Construir un segmento cuya longitud sea la raíz cuadrada de n, siendo n un número natural
Queremos, por ejemplo, trazar un segmento de longitud Realizar operaciones con raíces cuadradascm.
—Primero construimos un triángulo rectángulo isósceles Realizar operaciones con raíces cuadradascon el ángulo recto en B, tal que AB = BC = 1 cm.
—Aplicando el teorema de Pitágoras a este triángulo, obtenemos Realizar operaciones con raíces cuadradascm.
—Después construimos un triángulo, también rectángulo, Realizar operaciones con raíces cuadradascon el ángulo recto en C, tal que CD = 1 cm.
Usando el teorema de Pitágoras: AD2 = AC2 + CD2, y sustituyendo, Realizar operaciones con raíces cuadradas, con lo que obtenemos que AD2 = 3.
Es decir: Realizar operaciones con raíces cuadradascm.
Realizar operaciones con raíces cuadradas
Nota: por repetición de este proceso, podemos construir un segmento de longitud Realizar operaciones con raíces cuadradas, donde n es un número natural cualquiera.

3. Usar raíces cuadradas en trigonometría

Las raíces cuadradas nos permiten expresar el valor exacto del seno, coseno o tangente de algunos ángulos peculiares. Por ejemplo:
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4. Calcular la distancia entre dos puntos del plano

Si A(x, y) y B(x', y') son dos puntos del plano xy, la distancia AB viene dada por la siguiente fórmula:
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Ejemplo: queremos conocer la distancia que separa los puntos E y F. Es decir, queremos conocer la longitud del segmento EF. Tenemos los puntos E (1, –2) y F (3, 4) en un plano coordenado xy donde las unidades vienen dadas en centímetros. Queremos buscar un valor exacto.
Realizar operaciones con raíces cuadradas, y operando, Realizar operaciones con raíces cuadradas, por lo que Realizar operaciones con raíces cuadradas.
El valor exacto de EF es, por consiguiente, Realizar operaciones con raíces cuadradascm.

5. Resolver una ecuación

Queremos resolver la ecuación x² = 7. Gracias a las raíces, podemos demostrar que tiene dos soluciones: Realizar operaciones con raíces cuadradasy Realizar operaciones con raíces cuadradas.

6. Simplificar una expresión algebraica

Para simplificar la expresión x² – 5, usaremos la definición de raíz cuadrada, la cual nos permitirá escribir:
Realizar operaciones con raíces cuadradas
Usando la igualdad notable a² –  b² = (a – b)(a + b), obtenemos:
Realizar operaciones con raíces cuadradas
Ver también el artículo La raíz cuadrada: algoritmo de cálculo, propiedades y operaciones.

Mas informacion en : Ecuaciones lineales y cuadraticas Estadistica y Probabilidad , introduccion, desarrollo y ejercicios Concepto de plano cartesiano Radicacion Teorema de pitagoras su demostracion y ejemplos Trigonometria basica y sus elementos