Usar las potencias





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Usar las potencias


El área de un cuadrado cuyo lado tenga una longitud a, es a² (se lee “a elevado al cuadrado”, o “a elevado a la segunda potencia”, o “a al cuadrado”).
De la misma manera, el volumen de un cubo cuya arista mide a, es a3 (se lee “a elevado al cubo” o “a elevado a la tercera potencia” o “a al cubo”).
Pero, ¿cuál es el significado de otras expresiones similares, tales como 75, (–2)7 o 5–3?
I. Definición
Tomemos a como un número entero distinto de cero y n como otro número entero distinto de cero.
Si n  Usar las potencias 2, entonces an es el producto de n factores todos iguales a a: Usar las potencias.
Llamaremos base al número a que se repite multiplicándose consigo mismo. Llamaremos exponente al número n que se escribe como superíndice y que expresa cuántas veces se repite a en la multiplicación.
Usar las potencias
Si n = 1, entonces a1 = a. Por ejemplo: 51 = 5.
Si n = 0, entonces a0 = 1. Por ejemplo: 70 = 1. Pero esto lo explicaremos más abajo.
Si a = 1, entonces 1n = 1. Por ejemplo: 14 = 1 · 1 · 1 · 1 = 1.
Si a = 0, entonces 0n = 0. Por ejemplo: 03 = 0 · 0 · 0 = 0.
También, Usar las potencias, como veremos más adelante.
107 se lee como “10 elevado a la séptima potencia” o “ 10 elevado a la séptima”, pero Usar las potenciasse lee “tres séptimos elevado a la quinta potencia” o “tres séptimos elevado a la quinta”.
Ejemplos:
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Notas:
—Es muy importante saber que Usar las potencias. Vamos a verlo con un ejemplo:
Usar las potenciasporque:
Usar las potencias
Y Usar las potencias.
—Si la base de una potencia es un número entero negativo, el signo del resultado dependerá del exponente: si el exponente es un número par, el resultado será positivo. En cambio, si el exponente es una cantidad impar, el resultado de la potencia será de signo negativo. Veamos esto con un par de ejemplos.
Ejemplo 1: queremos calcular el valor de Usar las potencias.
Sabemos que: Usar las potencias. El número 4 es par, el resultado es positivo porque la base Usar las potenciasse multiplica consigo misma un número par de veces. Por lo tanto, si una potencia de base negativa tiene exponente par, podemos cambiar a voluntad el signo de la base, ya que sabemos de antemano que el resultado es positivo. En el ejemplo anterior podemos decir indistintamente que: Usar las potenciasya que el exponente es un número par.
Ejemplo 2: queremos calcular el valor de Usar las potencias.
Sabemos que: Usar las potencias. El número 5 es impar, el resultado es negativo porque la base Usar las potenciasse multiplica consigo misma una cantidad impar de veces.
—El número 210 (el cual es igual a 1.024) es muy utilizado en procesos de datos informáticos. Pero nosotros usamos a menudo la cantidad 1.000 como una aproximación al valor real del número; por ejemplo cuando hablamos de kilobytes, utilizamos la k como prefijo para indicar una multiplicación por 1.000;
—Para calcular la potencia de un número usando calculadora, podemos usar estas teclas: Usar las potenciaso Usar las potenciaso Usar las potenciaso Usar las potencias, dependiendo del modelo de calculadora. Así, para calcular 2,34 introducimos la secuencia: 2,3  Usar las potencias 4   Usar las potencias , lo cual nos da: 27,9841.
II. Propiedades
Supongamos que a y b son dos números enteros distintos de cero, y n y p son también dos números enteros.
1) an × a p =  an + p . Un producto de potencias de la misma base es una nueva potencia, que tiene la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes de las potencias que se están multiplicando. Vamos a entender esto con un ejemplo: 54 · 53 = (5 · 5 · 5 · 5) · (5 · 5 · 5) = 57. Por lo tanto, podemos decir que: 54 · 53 = 5 4+3 = 57.
2) Usar las potencias. Un cociente de potencias de la misma base es una nueva potencia, con la misma base y cuyo exponente es la resta de los exponentes de las potencias que se están dividiendo. Veamos un ejemplo: Usar las potencias. Por lo tanto, podemos decir que Usar las potencias.
3) Al principio del artículo vimos que Usar las potencias. Vamos a demostrarlo.
En una división de potencias de la misma base, puede ocurrir que el exponente del numerador sea menor que el exponente del denominador. En este caso la potencia resultante tendría un exponente de valor negativo. Vamos a verlo mediante un ejemplo.
Queremos calcular este cociente de potencias de la misma base:
Usar las potencias
Pero también podemos resolverla restando exponentes: Usar las potencias.
Por lo tanto, si tenemos estas dos igualdades:
Usar las potencias
podemos decir que Usar las potencias. Y si expresamos esto de forma más general tenemos que: Usar las potencias. Es decir, un número elevado a exponente negativo es igual al inverso de su potencia positiva.
4) a0 = 1. También puede ocurrir que en la división de dos potencias de la misma base, ambos términos de la fracción tengan el mismo exponente. En este caso, la potencia resultante tendría un exponente de valor cero. Veamos qué es lo que ocurre mediante un ejemplo.
Queremos calcular este cociente de potencias de la misma base:
Usar las potencias
Pero también podemos resolver este cociente mediante la resta de sus exponentes:
Usar las potencias. Por lo tanto, tenemos que:
Usar las potencias
Entonces, podemos afirmar que 60 = 1. Si expresamos esta igualdad de forma general tenemos que: a0 = 1. Es decir, todo número elevado a exponente cero, vale 1.
Nota: con todo lo visto hasta ahora, podemos afirmar que 40 = 1 y que 04 = 0. Pero, ¿qué podemos decir acerca de 00? Sabemos que 00 se puede obtener de aquí: Usar las potencias, pero no podemos afirmar que Usar las potenciasporque Usar las potenciasy cero entre cero tiene un valor indeterminado. Es decir, hay infinitos números que multiplicados por el denominador 0 nos da como resultado el numerador 0. Por lo tanto, si Usar las potenciasno tiene un valor determinado, 00 tampoco lo puede tener.
5) (a · b)n = an · bn. La potencia de un producto de dos o más números es igual al producto de cada una de las potencias. Vamos a comprenderlo con un ejemplo: (4 · 5)3 = (4 · 5) · (4 · 5) · (4 · 5) = 4 · 5 · 4 · 5 · 4 · 5 = 4 · 4 · 4 · 5 · 5 · 5 = 43 · 53. Por lo tanto, podemos decir que (4 · 5)3 = 43 · 53.
6) Usar las potencias. La potencia de un cociente es igual al cociente de las potencias. Por ejemplo:
Usar las potencias
Por lo tanto, Usar las potencias.
7) (a n) p = an × p. La potencia de una potencia es una nueva potencia, cuya base es la misma y cuyo exponente es el producto de los exponentes. Observa este ejemplo para comprender lo que acabamos de decir: (83)5 = 83 · 83 · 83 · 83 · 83 = 83+3+3+3+3 = 815. Por lo tanto, podemos afirmar que (83)5 = 83·5 = 815.
Ejemplos:
34 × 37 = 34 + 7 = 311 = 177.147
Usar las potencias
26 × 56 = (2 × 5) 6 = 106 = 1.000.000
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III. Aplicaciones
1. Expresar una operación en forma de potencia
Consideremos un número A igual a esta operación: 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3.
Tiene 6 factores, todos iguales a 3, por lo tanto A = 36.
De la misma forma, si Usar las potencias, entonces Usar las potencias.
Finalmente, si C = (–3) × (–3) × (–3) × (–3) × 0,7 × 0,7 × 0,7 × 0,7, entonces:
C = (–3)4 × 0,74
C = ((–3) × 0,7)4
C = (–2,1)4
Nota: en la notación que hemos hecho del número C, hay cuatro factores de signo negativo, es decir, un número par de factores, por eso el resultado es una cantidad positiva. Por consiguiente también podemos decir que: C = 2,14.
2. Usar potencias de base 10
Esto es una consecuencia de la definición de potencia de un número distinto de cero.
Dado n como un número natural (entero positivo), veamos las siguientes potencias de base 10:
10n se escribe como: 1 seguido de n ceros. Observa:
Usar las potencias
10–n se escribe como: 0,…..1 con n-1 ceros entre la coma decimal y el 1. Veamos por qué con un ejemplo.
Queremos expresar de otra forma el valor de la potencia 10-5. Sabemos que Usar las potenciasy que
Usar las potencias
Por lo tanto, 10-5 = 0,00001.
Ejemplos:
104 = 10.000 (cuatro ceros); 106 = 1.000.000 (seis ceros).
10–2 = 0,01 (dos ceros); 10–6 = 0,000001 (seis ceros).
Por supuesto, 100 = 1.
Esto nos permite escribir cifras decimales en notación científica.
Ejemplos :
1.500.000 = 1,5 × 1.000.000 = 1,5 × 106
0,0000000547 = 5,47 × 0,00000001 = 5,47 × 10–8
Ver también el artículo Efectuar operaciones con potencias.

Mas informacion en : Ecuaciones lineales y cuadraticas Estadistica y Probabilidad , introduccion, desarrollo y ejercicios Concepto de plano cartesiano Radicacion Teorema de pitagoras su demostracion y ejemplos Trigonometria basica y sus elementos