Orden de las operaciones





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Orden de las operaciones


Si introduces esta secuencia en una calculadora: 3   Orden de las operaciones1  4   Orden de las operaciones9  5   Orden de las operaciones13  , con algunos modelos obtendrás “35” como respuesta y con otros “23”. El primer modelo ha llevado a cabo las operaciones en el orden en el cual fueron introducidas (3 + 4 primero, lo cual da 7, y después 7 × 5, obteniendo 35 como resultado). En cambio, el segundo tipo de calculadora ha iniciado la operación con la multiplicación y después ha añadido 3 al resultado (4 × 5 da 20, y después 3 + 20 da 23). Esta última calculadora tiene en cuenta las reglas de precedencia de las operaciones (decimos que es una calculadora científica) mientras que la otra no las considera.

I. Aplicar el orden de las operaciones

1. Sin paréntesis

En una serie de operaciones sin paréntesis los cálculos deben ser realizados en el siguiente orden:
—primero, las raíces cuadradas;
—después, las potencias (en el caso de que haya varias potencias empezaremos por la que está más a la izquierda, es decir, seguiremos el orden natural que empleamos al leer);
—a continuación, las multiplicaciones o divisiones (y en caso de que haya varias, siempre de izquierda a derecha);
—finalmente las sumas o restas (empezando siempre por aquellas que se encuentren más a la izquierda).
Resumiendo, podemos decir que las raíces preceden a las potencias, las potencias preceden a las multiplicaciones y divisiones, y estas tienen prioridad sobre las sumas y las restas.
Ejemplo: vamos a calcular A 7 + 3 × 4² – 6.
Primero realizamos el cálculo de la potencia:
A = 7 + 3 × 16 – 6
Después las multiplicaciones (o divisiones):
A = 7 + 48 – 6
Y finalmente las sumas o restas:
A = 55 – 6 
A = 49
2. Con paréntesis
Si hay paréntesis, los cálculos dentro de cada pareja de paréntesis hay que realizarlos de acuerdo con las reglas de precedencia que acabamos de ver en el apartado anterior. También es muy importante tener en cuenta que si hay paréntesis anidados como: Orden de las operaciones21, entonces, habrá que empezar por resolver los paréntesis más interiores.
Ejemplo: queremos calcular B = (–3) + (4 + 5) × (7 – 12 × (5 – 2)).
Realizamos los cálculos comenzando por el paréntesis más interior (5 - 2):
B = (–3) + (4 + 5) × (7 – 12 × 3)
Aplicamos las reglas de precedencia de las operaciones dentro de cada uno de los paréntesis:
B = (–3) + 9 × (7 –  36)
B = (–3) + 9 × (29)
B = (–3) + (261)
B = –264
Nota: debemos prestar especial atención a los paréntesis implícitos, o que se consideran sobreentendidos. Los siguientes ejemplos servirán para comprender esto y nos ayudarán a interpretar correctamente algunos tipos de operaciones.
Si nos dan una expresión como esta:
Orden de las operaciones22
Nosotros debemos interpretar esto:
Orden de las operaciones24
Por consiguiente, tenemos:
Orden de las operaciones25
Si nos dan esta expresión: Orden de las operaciones26, debemos entenderla así: Orden de las operaciones28. Por lo tanto, obtenemos: Orden de las operaciones29.

II. Resolver con calculadora

Vamos a resolver las operaciones A, B, C y D de los epígrafes anteriores con una calculadora científica.
Ejemplo 1: calcular A = 7 + 3 × 4² – 6.
Sería necesario —como regla general, dependiendo del modelo de calculadora— introducir la siguiente secuencia (¡los dibujos de las teclas pueden ser diferentes según el modelo de calculadora!):
7   Orden de las operaciones2  3   Orden de las operaciones10  4   Orden de las operaciones30   Orden de las operaciones30  6   Orden de las operaciones14
El resultado obtenido debería ser: 49.
Ejemplo 2: calcular B =  (–3) + (4 + 5) × (7 – 12 × (5 – 2)).
Introducimos la secuencia:
Orden de las operaciones35   Orden de las operaciones3  ( 4   Orden de las operaciones4  5 )   Orden de las operaciones11  ( 7   Orden de las operaciones31  1 2   Orden de las operaciones12  ( 5   Orden de las operaciones32  2 ) )   Orden de las operaciones15
El resultado obtenido debería ser: -264.
Nota: es importante diferenciar la tecla de la operación resta Orden de las operaciones33de esta otra: Orden de las operaciones36, que se usa solamente para obtener el valor opuesto de un número dado o para introducir un número negativo. Por ejemplo, si queremos escribir el valor -3 en la calculadora: Orden de las operaciones373. Y si lo que deseamos es hallar el opuesto de un número dado: 4 Orden de las operaciones38= - 4.
Ejemplo 3: calcular Orden de las operaciones23
Introducimos la secuencia:
1 1   Orden de las operaciones34  (  3   Orden de las operaciones5  4  )   Orden de las operaciones39  ( 1 3   Orden de las operaciones34  5 )   Orden de las operaciones16
Observa que el orden de precedencia de las operaciones ha de ser respetado.
Dependiendo de la calculadora, el resultado que obtendremos en la pantalla aparecerá expresado en forma fraccionaria (81/8) o decimal (10,125).
Ejemplo 4: calcular Orden de las operaciones27.
Introducimos la secuencia:
( 1 6   Orden de las operaciones6  9  )   Orden de las operaciones40    Orden de las operaciones17
O bien:  Orden de las operaciones41  ( 1 6   Orden de las operaciones7  9  )   Orden de las operaciones18
El resultado debería ser: 5.
Notas:
—Existe una tecla para calcular potencias mayores que 2:
Orden de las operaciones42o Orden de las operaciones44o Orden de las operaciones45o Orden de las operaciones46, dependiendo del tipo de calculadora.
Por ejemplo, para calcular 53, introducimos la secuencia:
Orden de las operaciones43 3  Orden de las operaciones19, y el resultado debería ser: 125.
—Existe una tecla para calcular el inverso de un número:
Orden de las operaciones47o Orden de las operaciones48, dependiendo del modelo de calculadora.
Por ejemplo, para calcular Orden de las operaciones49, el camino más rápido sería introducir la siguiente secuencia:
3   Orden de las operaciones8  2   Orden de las operaciones20   Orden de las operaciones50, y el resultado debería ser: 0,2.

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