Calcular los divisores comunes de dos números enteros





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Calcular los divisores comunes de dos números enteros


La división entre dos números enteros cuyo cociente y resto son también enteros recibe el nombre de división euclídea, en honor al matemático griego Euclides.
En la división euclídea, ¿qué es un divisor?

I. Múltiplos y divisores

1. Definiciones de multiplos y divisores

Sean a y b dos números enteros, b es un divisor de a si existe un número entero q, tal que a = bq. Se dice que a es un múltiplo de b, o que a es divisible por b.
Notas:
—si b es un divisor de a, entonces al dividir a entre b se obtiene de resto 0. Podemos por tanto escribir: a = bq, donde q es el cociente de a dividido entre b.
—algunas calculadoras tienen una tecla para la división euclídea; en ese caso, el cociente y el resto aparecen en la pantalla.
Ejemplo: ¿son 13 y 7 divisores de 221?
Efectuamos las divisiones euclídeas de 221 entre 13 y de 221 entre 7:
221 = 13 × 17, por tanto, 13 es un divisor de 221.
221 = (7 × 31) + 4, por tanto, 7 no es divisor de 221.

2. Criterios de divisibilidad

No siempre es necesario realizar una división para saber si un número entero es divisible por otro; repasemos los criterios de divisibilidad:
—un entero es divisible por 2 si termina en 0 o cifra par.
—un entero es divisible por 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.
—un entero es divisible por 5 si termina en 0 o en 5.
—un entero es divisible por 9 si la suma de sus cifras es múltiplo de 9.
—un entero es divisible por 10 si termina en 0.
—un entero es divisible por 11 si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan lugar par y la suma de las que ocupan lugar impar es 0 o múltiplo de 11.
Ejemplo: de acuerdo con estos criterios, podemos decir que 975 es divisible entre 3 y entre 5, pero no lo es entre 2, 9, 10 u 11.

II. Los divisores de un número entero

1. Algunas reglas

Consideremos un entero a distinto de 0 o de 1. Este número tiene por lo menos dos divisores: 1 y él mismo. Siempre se cumple que: a = a x 1. El número 1 solo tiene un divisor: él mismo. El número 0 es divisible entre cualquier número entero. Los divisores de un entero distinto de cero se pueden emparejar: por ejemplo, 8 y 9 son divisores de 72, porque 72 es divisible por 8 y por 9, y 72 = 8 x 9.

2. Método

Se puede explicar el método para hallar todos los divisores de un número entero con un ejemplo: hallar todos los divisores de 72. Se puede hacer dividiendo 72 entre los sucesivos enteros: 1, 2, 3… Cuando el resto sea cero, se cumple que: dividendo = divisor × cociente; escribimos esta ecuación en cada caso y el par de divisores obtenido (el cociente también es divisor del dividendo).
Calcular los divisores comunes de dos números enteros
El proceso se detiene porque la siguiente ecuación, 72 = 9 x 8, da los divisores 8 y 9, que ya han sido obtenidos.
Los divisores de 72 son, por tanto: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36 y 72.

III. Los divisores comunes de dos números enteros

1. Ejemplo

Hallar todos los divisores comunes de 72 y 54. Para ello, hallamos los divisores de cada uno de estos números usando el método anterior, y seleccionamos los números que aparezcan en ambas listas:
Los divisores de 72 son: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36 y 72.
Los divisores de 54 son: 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27 y 54.
Los divisores comunes de 72 y 54 son, por tanto: 1, 2, 3, 6, 9 y 18.

2. Máximo común divisor

El máximo común divisor de dos enteros se escribe abreviadamente así: M.C.D., MCD o también m.c.d.
Ejemplo: el máximo común divisor de 72 y 54 es 18 (según los divisores de ambos, obtenidos en el ejemplo anterior).
Se escribe así: M.C.D. (72, 54) = 18. Volviendo a la lista de los divisores comunes de 72 y 54: 1, 2, 3, 6, 9 y 18, observamos que todos son divisores de 18.
Propiedad: los divisores comunes de dos números enteros son los divisores de su M.C.D. Si conocemos el M.C.D. de dos enteros, podemos hallar todos sus divisores para obtener los divisores comunes de estos dos números enteros.


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