Aplicar la propiedad distributiva

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Aplicar la propiedad distributiva

Para calcular de una forma ingeniosa esta operación: A = 57 × 968 + 43 × 968, podemos aplicar la propiedad distributiva, la cual nos permitirá escribirla de esta otra forma: A = (57 + 43) × 968 = 100 × 968. Y ya tenemos la respuesta: 96.800. 
¿Cuándo podemos aplicar la propiedad distributiva? 
I. La propiedad distributiva
En los próximos párrafos, emplearemos las letras ab y k para designar cualquier número.
1. Propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma
Viene dada por la siguiente expresión: k × (a + b) = k × a + k × b.
De manera más sencilla, podemos escribirla: k(a + b) = ka + kb.
Ejemplo: 2 × (3 + 4) = 2 × 3 + 2 × 4
Podemos comprobar que: 2 × (3 + 4) = 2 × 7 = 14, y que:  2 × 3 + 2 × 4 = 6 + 8 = 14.
Nota: también podemos expresar la propiedad distributiva de esta otra forma: (a + b) × k = a × k + × k y, por lo tanto, (a + b)k = ak + bk = ka + kb = k(+ b).
2. Propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la resta 
Viene dada por la siguiente expresión: k × (a – b) = k × a – k × b.
De forma más sencilla, podemos escribirla así: k(a – b) = ka – kb.
Ejemplo: 3 × (5 – 2) = 3 × 5 - 3 × 2.
Nota: también la podemos expresar así: (a – b) × k = × k – × k y, por lo tanto, (a – b)k = ak  bk = ka  kb = k( b).
3. Generalización
Las fórmulas anteriores pueden ser generalizadas para cualquier cantidad de términos en el interior del paréntesis y para cualquier tipo de operación, de suma o de resta.
Ejemplo: 2 × (3 + 4 – 5) = 2 × 3 + 2 × 4 – 2 × 5 = 6 + 8 – 10 = 4 
II. Ejemplos de aplicación
1. Cálculo mental
Ejemplo 1: queremos calcular 25 × 11, 25 × 21 y 25 × 31.
Entonces podemos proceder a realizar el cálculo de la siguiente forma:
25 × 11 = 25 × (10 + 1) = 25 × 10 + 25 × 1 = 250 + 25 = 275
De la misma manera:
25 × 21 = 25 × 20 + 25 = 500 + 25 = 525
25 × 31 = 25 × 30 + 25 = 750 + 25 = 775
Ejemplo 2: queremos calcular 24 × 9, 24 × 19 y 24 × 29.
Podemos hacerlo así:
24 × 9 = 24 × (10 – 1) = 24 × 10 – 24 × 1 = 240 – 24 = 216
De la misma forma:
24 × 19 = 24 × (20 – 1) = 24 × 20 – 24 × 1 = 480 – 24 = 456
24 × 29 = 24 × (30 – 1) = 24 × 30 – 24 × 1 = 720 – 24 = 696
2. Calcular la superficie lateral de un prisma recto
La figura 1 muestra el desarrollo de la superficie lateral de un prisma recto. Las longitudes están expresadas en centímetros. 
 
Para calcular el área lateral de este poliedro, podemos realizar la siguiente operación:
24 × 14 + 24 × 19 + 24 × 12
Que nos da como resultado la suma de las áreas de sus tres caras rectangulares.
Pero esta operación se puede simplificar mucho más para calcularla con mayor facilidad:
24 × (14 + 19 + 12) = 24 × 45 = 1.080
Nota: a este proceso de búsqueda del número que se repite en todas la sumas se le denomina “sacar factor común”, que si te fijas es como aplicar la propiedad distributiva al revés: k · a + k · b + k · c = k · (a + b + c). 
Por lo tanto, tenemos que el área lateral de este prisma es igual a 1.080 cm2.
Nota: al sumar 14 + 19 + 12 obtenemos el perímetro de la base del prisma, en centímetros. 
3. Calcular el área de una corona circular
Queremos calcular el área de la corona circular que se muestra en la figura 2. Las unidades de longitud vienen expresadas en centímetros. Las unidades de superficie deberán expresarse en centímetros cuadrados. 
 
El área de esta corona circular deberá ser igual a la diferencia de las áreas del círculo grande, con radio 2 + 1 = 3 cm, y del círculo pequeño, con radio 2 cm. Por lo tanto, tenemos:
—área del círculo grande:  × 32 =  Aplicar la propiedad distributiva × 3 × 3 = 9 Aplicar la propiedad distributiva;
—área del círculo pequeño: Aplicar la propiedad distributiva × 22 =  Aplicar la propiedad distributiva × 2 × 2 = 4 Aplicar la propiedad distributiva;
—área de la corona: 9 Aplicar la propiedad distributiva -  4 Aplicar la propiedad distributiva = (9 – 4) Aplicar la propiedad distributiva = 5 Aplicar la propiedad distributiva. Observa cómo hemos sacado Aplicar la propiedad distributivacomo factor común.
El área de la corona circular es, por lo tanto, igual a 5 Aplicar la propiedad distributivacm2.
Si decimos que Aplicar la propiedad distributiva  Aplicar la propiedad distributiva3,14, tenemos que el área es aproximadamente 15,7 cm2.
Nota: de forma general, el área de una corona circular formada por dos círculos con sus respectivos radios, r, es igual a Aplicar la propiedad distributivaR² –  Aplicar la propiedad distributivar², y sacando factor común: Aplicar la propiedad distributiva(R² – r²).