El Teorema de pitagoras





Teoremas de pitagoras

Matematicas Basicas

SEMEJANZA Y TEOREMA DE PITÁGORAS

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\thales.jpg 

Nació: alrededor del año 640 a. de C. en Mileto,Asia Menor (ahora Turquía). Falleció: alrededor 560 a. de C. en Mileto, Asia Menor (ahora Turquía).

 

 

Thales era un hombre esencialmente práctico: comerciante, hábil en ingeniería, astrónomo, geómetra, estadista. Se le incluye por tradición entre los Siete Sabios. Como comerciante se cuenta de él que un año, previniendo una gran producción de aceitunas, monopolizó todos los lagares para hacer el aceite, con lo cual obtuvo una espléndida ganancia. Como lo que ahora llamaríamos ingeniero, estuvo dirigiendo obras hidráulicas y se dice que desvió el curso del río Halis mediante la construcción de diques. Como astrónomo fue más célebre, predijo el eclipse total de sol visible en Asia Menor, como asimismo se cree que descubrió la constelación de la Osa Menor y que consideraba a la Luna 700 veces menor que el sol. También se cree que conoció la carrera del sol de un trópico a otro. Explicó los eclipses de sol y de luna. Finalmente creía que el año tenía 365 días. A Thales se le atribuyen 5 teoremas de la geometría elemental:
Los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales.
Un círculo es bisectado por algún diámetro.
Los ángulos entre dos líneas rectas que se cortan son iguales.
Dos triángulos son congruentes si ellos tienen dos ángulos y un lado igual.
Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.

Thales busca el fundamento natural de las cosas y cree al respecto, que el principio originario, la sustancia primordial de todas las cosas, es el agua. Pensaba así mismo que el agua llenaba todo el espacio. Se imaginaba a la Tierra como un gran disco flotando sobre las aguas, sobre la cual existiría una burbuja hemisférica de aire, nuestra atmósfera sumergida en la masa líquida. La superficie convexa de la burbuja sería nuestro cielo y los astros según expresión de Thales "Navegarían por las aguas de arriba". Escribió un libro de navegación y se decía que usó la constelación de la Osa Menor que él había definido como una característica importante de la navegación. Se cree que Thales pudo haber sido el maestro de Anaximandro y que fue el primer filósofo natural de la escuela Milesiana. Su busto se exhibe en el museo del capitolio en Roma, pero no es el contemporáneo de Thales.


4.1 SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

Al construir dos triángulos que tengan dos ángulos correspondientes congruentes, se puede concluir:

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10205.jpg

El ángulo C correspondiente a cada uno de los triángulos es congruente con los otros dos, porque por definición se sabe que los ángulos internos de cualquier triángulo suman 180°. La medida de los lados de uno de los triángulos resulta ser proporcional a la medida de los lados correspondientes del otro triángulo.
Es decir:
Los ángulos C y C´ cada uno es igual a 95°.
El lado AB es proporcional al lado A´B.
El lado BC es proporcional al lado B´C.
El lado CA es proporcional al lado C´A.

Luego se puede afirmar que los dos triángulos son semejantes. Las anteriores conclusiones se pueden enunciar mediante la siguiente regla:

4.1.1 Semejanza ángulo-ángulo (A-A)

Si dos ángulos de un triángulo son congruentes con dos ángulos de otro triángulo, lostriángulos son semejantes. Ahora observemos la figura:

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10206.jpg

Esta figura la conforma dos triángulos: ABC y DEC, donde el ángulo C es común a los dos triángulos, y se puede establecer la siguiente semejanza:
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10207.jpg

4.1.2 Semejanza lado-ángulo-lado (L-A-L)

Si dos lados de un triángulo son proporcionales a los lados correspondientes de otrotriángulo y el ángulo comprendido entre estos dos lados es congruente, se puede afirmar que los dos triángulos son semejantes.
Si volvemos a la figura anterior:

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10206.jpg

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10208.jpg

4.1.3 Semejanza lado-lado-lado ( L-L-L )

Si los lados correspondientes de dos triángulos son proporcionales, entonces los triángulos son semejantes.

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\figura019.jpg
Dado el triángulo de la figura, encuentra los valores de x, y y z.

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10209.jpg

De la figura extraemos los siguientes datos:
AB = 8 cm,
DA = 4,5 cm
CA = 9cm
CB = 10cm
CD = 4,5 cm
Sabemos también que:
CE = y
EB = z
DE = x
Podemos establecer las siguientes relaciones teniendo en cuenta las semejanzasestudiadas:
Como el,
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10214.jpg
Entonces:
CA/CD = CB/CE = AB/DE
Reemplazando valores conocidos en: CA/CD = AB/DE tenemos:
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10211.jpg
Para hallar el valor de y: AB/DE= CB/CE, entonces:
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10212.jpg
Ahora para hallar el valor de z: AB/DE = CB/EB, entonces:
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10213.jpg

 

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10219.jpg Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\lamest.gif

Dado el triángulo de la figura, encuentra los valores de x, y y z.

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10217.jpg
Respuesta:
x = 8 cm, y = 5 cm, z = 5 cm


Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10220.jpg4.2 TEOREMA DE THALES

El teorema de Thales enuncia que si varias rectas paralelas entre sí, cortan a dos rectas transversales, se forman en ellas segmentos correspondientes y proporcionales.
Sea la figura:

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10221.jpg

Entonces de acuerdo con el teorema de Thales se puede decir que el segmento de rectaEC es proporcional al segmento CA, como el segmento FD es proporcional al segmento DB. Lo anterior se puede resumir en la siguiente forma:

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10222.jpg


4.3 TEOREMA DE LA BISECTRIZ

La bisectriz de un ángulo interior de un triángulo, divide respectivamente al lado opuesto en partes que son proporcionales a los otros dos lados.

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10224.jpg

De acuerdo con el teorema de la bisectriz se puede decir que el segmento de recta 
AD es proporcional al segmento DB, como el segmento AC es proporcional al 
segmento CB. Lo anterior se puede resumir en la siguiente forma:
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10223.jpg

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10226.jpg4.3.1 TEOREMA DE PITÁGORAS

Para todo triángulo rectángulo (triángulo con un ángulo de 90°) el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
Sea el triángulo rectángulo de la figura:

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10228.jpg

Hipotenusa = 5 unidades
Cateto a = 4 unidades
Cateto b = 3 unidades
Con áreas de:
5 unidades cuadradas
4 unidades cuadradas
3 unidades cuadradas, respectivamente.
Se puede concluir que el área del cuadrado que está sobre la hipotenusa, es igual a la suma de los cuadrados de las áreas que están sobre los catetos.
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10229.jpg
De esta forma es posible establecer la relación que hay entre los cuadrados de los lados del triángulo rectángulo, que es la demostración del teorema de Pitágoras.

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10227.jpg

Hallar el área de un cuadrado que está sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo, cuyos catetos miden 40 cm y 15 cm respectivamente.
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10230.jpg

 

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10231.jpgDescripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\lamest.gif

En la figura se tiene que el segmento de recta BC es paralelo a DE y además seconoce que AB = 2m, BE = 3 m y BC = 4m.
Hallar la altura del árbol.

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10232.jpg

Respuesta: 6m

 


4.4 SECCIONES CÓNICAS
Veamos ahora otros aspectos acerca de las secciones cónicas:
4.4.1 La circunferencia

Cuando la circunferencia tiene el centro en cualquier punto diferente al origen, presenta una serie de fórmulas diferentes a las vistas en capítulos anteriores.
Sea la figura:

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficas\mat10233.jpg

La gráfica corresponde a una circunferencia con centro c (h, k) y radio r > 0.
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficas\mat10234.jpg
Para el caso particular de la circunferencia con centro diferente al origen se tiene
que:
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficas\mat10235.jpg
De los anteriores procedimientos se desprende la ecuación general de la circunferencia, que viene dada por:

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficas\figura019.jpg

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficas\1wht.gif
Dar la ecuación de la circunferencia con centro C (-2, 4) y radio 4 cm.
Como el centro no está en el origen del plano cartesiano, la ecuación corresponde a laforma:
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficas\mat10237.jpg

Dada la ecuación:
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficas\mat10238.jpg
Hallar los valores de las coordenadas y el centro.
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficas\mat10239.jpg

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (4, 3) y (-2, -5). En un plano cartesiano se ubican los puntos dados, y se traza una circunferencia de tal forma que la circunferencia pase por encima de los puntos, como se muestra en la figura.

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficas\mat10241.jpg

Se observa que para hallar el centro de la circunferencia se debe encontrar el punto medio del segmento comprendido entre los puntos (-2, -5) y (4, 3). Para desarrollar este ejercicio es necesario hacer algunas precisiones.

Punto medio de una recta
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficas\mat10242.jpg
De la demostración de este teorema nos ocuparemos en capítulos posteriores, por elmomento apliquemos estos valores a los puntos dados para hallar el punto medio delsegmento comprendido entre los puntos (-2, -5) y (4, 3), que para nuestro caso como se ve en la figura es el mismo centro de la circunferencia. Entonces se tiene:
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficas\mat10243.jpg
El punto medio del segmento será: Pm = (1, -1) que a su vez es el centro de lacircunferencia. Para hallar el valor del radio de la circunferencia basta aplicar la fórmula de distancia entre el centro de la circunferencia y uno de los puntos que pasan por encima de la circunferencia, luego, tomemos el punto (4, 3) y el centro de la circunferencia (1, -1).
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficas\mat10244.jpg

 

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficas\mat10250.jpg

4.5 SÓLIDOS
Poliedros
Un poliedro es un cuerpo o sólido geométrico limitado por planos. Las intersecciones de estos planos forman polígonos llamados caras del poliedro, los lados de las caras se llaman aristas, y las intersecciones de las aristas reciben el nombre de vértices.
La Diagonal de un poliedro es toda recta que une dos vértices no situados en una mismacara.

TABLA DE SÓLIDOS

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficas\mat10247.jpgDescripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficas\mat10248.jpg

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficas\mat10251.jpgDescripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficas\lampara-estudio.gif

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficas\1wht.gif
Hallar el área lateral, total y volumen de un prisma cuadrilátero regular recto, si se sabe que el lado de la base mide 10 cm y su arista lateral 20 cm.
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficas\mat10252.jpg

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficas\2wht.gif
Hallar el área total y el volumen de una pirámide cuadrilátera regular recta, si el lado de la base mide 8 cm y la altura 5 cm.
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficas\mat10253.jpg
Para calcular la apotema se debe utilizar el teorema de Pitágoras en el triángulo
rectángulo formado por la altura (5 cm) y la mitad del lado de la base como uno de
los catetos, es decir, 4 cm.
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficas\mat10254.jpg
Entonces:
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficas\mat10255.jpg

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficas\3wht.gif
¿Cuál es el valor para el área total de un tronco de pirámide en la cual la base inferior tiene de ancho 12 cm, el ancho de la base superior es de 8 cm, siendo la altura de la pirámide de 14 cm?

Para el desarrollo de este problema se conoce:
Lado de la base inferior = 12 cm.
Lado de la base superior = 8 cm.
Se halla el área lateral:
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficas\mat10256.jpg

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficas\4wht.gif
En un cilindro recto, la generatriz mide 15 cm y el radio de la base 7 cm. Hallar el área lateral, el área total y el volumen del cilindro.

Por el enunciado del problema se tiene:
Generatriz = 15 cm.
Radio de la base =7 cm.
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficas\mat10257.jpg

 

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficas\mat10260.jpg

Resuelve los siguientes problemas:
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficas\mat10258.jpg

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficas\mat10259.jpg

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