PLANO CARTESIANO





Definicion de Plano cartesiano

Matematicas Basicas

PLANO CARTESIANO


Llamaremos producto cartesiano de dos conjuntos, que simbolizaremos como A X B, a todos los pares de elementos ordenados que podamos formar tomando como primer elemento un elemento del conjunto A y como segundo un elemento del conjunto B.

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficas\figura019.jpg
Sea los conjuntos
A = { 1 , 2 , 3 }
B = { 4 , 5 , 6 }
Se tiene:
A X B = { ( 1 , 4 ) , ( 1 , 5 ) , ( 1 , 6 ) , ( 2 , 4 ) , ( 2 , 5 ) , ( 2 , 6 ) , ( 3 , 4 ) , ( 3 , 5 ) , (3, 6) }

El producto cartesiano A X B no es igual al producto cartesiano B X A. Si los conjuntos A y Btienen elementos comunes, entonces los elementos del producto cartesiano de la forma (a,a), se les llama elementos diagonales.

Si el producto cartesiano lo forman más de dos conjuntos, los elementos del productocartesiano lo formarán grupos de elementos tomados ordenadamente de cada uno de los conjuntos que lo forman, tomando un elemento del primer conjunto, otro del segundo, otro del tercero y así hasta llegar al último.
Para representar gráficamente el producto cartesiano utilizaremos la representacióncartesiana, que consiste en trazar unos ejes perpendiculares: en el eje horizontalcolocaremos los elementos del conjunto A y en el eje vertical los elementos del conjunto B.
Los elementos del producto cartesiano los forman los puntos de intersección que se obtienenal trazar por los elementos del conjunto A, paralelas al eje vertical, y por los elementos delconjunto B paralelas al eje horizontal.

Representación gráfica del ejemplo:


Para saber el número de elementos del producto cartesiano, nos fijaremos en el diagrama de árbol.



Tenemos nueve elementos, que es el resultado de multiplicar el número de elementos delconjunto A por los del conjunto B. Podemos saber el número de elementos de un productocartesiano formado por n conjuntos, multiplicando el número de elementos de cada uno delos conjuntos que intervienen.

2.1 FUNCIONES
Objetivos
-Verificar los conocimientos adquiridos en capítulos anteriores mediante el desarrollo de problemas.
-Identificar y resolver ecuaciones de segundo grado mediante los procedimientos vistosanteriormente y los desarrollados en la presente unidad.
-Analizar el concepto de las ecuaciones teniendo en cuenta el valor del discriminante.
-Determinar la relación que hay entre la suma y el producto de las raíces de una ecuacióncuadrática y los valores de los coeficientes y el término independiente.
-Aplicar los procedimientos de desarrollo de ecuaciones cuadráticas a la solución deproblemas.


2.1.1 Función cuadrática
Es una función cuyos valores están dados por la fórmula:
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10064.jpg
donde a, b c son números reales y a es diferente de 0c es el término independiente,
y reciben el nombre de función cuadrática.
Se debe precisar que en:
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10064.jpg
la incógnita es x, el número representado por a es el coeficiente de la incógnita elevada alcuadrado, y b es el coeficiente de la incógnita elevada a la potencia 1, siendo c el términoindependiente.


Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10065.jpg

Para analizar este tipo de ecuaciones analizaremos la gráfica de dos de ellas.
Sean las ecuaciones:
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10066.jpg
Realizar las gráficas de las ecuaciones. Se elaboran las tablas de valores, asignando valores arbitrarios a la incógnita para hallar los valores de la otra variable.

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10067.jpg

Ubicando los puntos en un plano cartesiano y trazando las gráficas respectivas se tiene:

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10068.jpg
De las anteriores gráficas se concluye que cuando a adquiere valores diferentes de cero, la gráfica será siempre una parábola simétrica respecto del eje y, la gráfica tendrá un vértice común (0, 0) que coincide con el origen del plano cartesiano y el coeficiente a da la abertura de la curva hacia arriba, si a > 0.


Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10069.jpg
Realizando un proceso similar al anterior, resolvamos gráficamente las ecuaciones:

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10070.jpg

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10071.jpg

Realizando las gráficas correspondientes tenemos:

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10072.jpg

Las gráficas resultantes son parábolas simétricas respecto del eje y, la abertura de laparábola está determinada por el coeficiente de x2. Particularmente el vértice de la parábola es un punto de coordenadas (0, k), y si el coeficiente de x es positivo, la parábola abre hacia arriba.


Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10073.jpg
Sean las ecuaciones:
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10074.jpg
De igual manera le asignamos valores a la incógnita para encontrar los valores de la otravariable y realizamos las gráficas correspondientes:

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10075.jpg

Realizamos las gráficas:
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10076.jpg

En estas gráficas se puede observar que el eje de simetría de las gráficas es paralelo al ejey. La abertura de la parábola la determina el coeficiente de x2, y si el coeficiente de x2 es positivo, la curva de la parábola abre hacia arriba, el punto del vértice (0, 0) satisface esta clase de ecuaciones.


2.1.5 Solución gráfica de la ecuación de segundo grado

Una ecuación cuadrática se puede representar gráficamente en un plano cartesiano y encontrar el valor de sus raíces, interpretando los puntos de corte de la gráfica.
Veamos:

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\figura019.jpg
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10077.jpg
Como en los casos vistos anteriormente se le dan valores arbitrarios a x para encontrar los valores de la otra variable ¦(x), y realizar la gráfica correspondiente.
Luego:

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10078.jpg

Al analizar la gráfica se observa que la parábola no corta al eje x en ningún punto, lo que indica que las raíces de la ecuación no tienen solución en los números reales.

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\figura019.jpg
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10081.jpg

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10080.jpg

Se observa que la gráfica corta el eje x en dos puntos, es decir, en los puntos:
(-2, 0) y (1, 0), entonces, se dice que -2 y 1 son dos ceros o raíces de la ecuación.
Luego, las soluciones de la ecuación serán:
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10082.jpg

 

Representar gráficamente la ecuación:
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10083.jpg


2.2 EXPRESIONES ALGEBRAICAS

2.2.1 Fracción algebraica:
Es la división indicada de dos expresiones algebraicas.

Ejemplos:
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10084.jpg
2.2.2 Máximo común divisor

El máximo común divisor M.C.D de dos o más expresiones algebraicas, es la expresión de mayor grado y coeficiente numérico que está contenida en cada una de ellas de una forma exacta.

M.C.D de monomios:

Hallamos el M.C.D de las partes numéricas (coeficientes) y, luego de éste, escribimos las partes literales comunes con el menor exponente que haya en las expresiones dadas.

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\figura019.jpg

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10085.jpg

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10086.jpg

M.C.D de polinomios:

Para hallar el M.C.D de dos o más polinomios, primero se factorizan los polinomios si es posible, se descomponen en sus factores primos y el M.C.D será el producto de los factores primos comunes precedidos de su menor exponente.

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\figura019.jpg

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10087.jpg


2.2.3 Mínimo común múltiplo

El mínimo común múltiplo (m.c.m) de dos o más expresiones algebraicas, es la expresión de menor grado y coeficiente numérico que divide a cada una de ellas de una forma exacta.

m.c.m de monomios:

Se halla el m.c.m de los coeficientes y posteriormente a éste escribimos todas las partes literales comunes y no comunes precedidas del mayor exponente que tengan las expresiones dadas.

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\figura019.jpg
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10088.jpg

m.c.m de polinomios:

Para hallar el m.c.m de dos o más polinomios, primero se factorizan los polinomios, si es posible se descomponen en sus factores primos y el m.c.m será el producto de los factores primos comunes y no comunes precedidos de su mayor exponente.

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\figura019.jpg
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10089.jpg


2.2.4 Simplificación de fracciones algebraicas

Simplificar una fracción algebraica, es reducirla a su más mínima expresión.

Cuando los términos de una fracción algebraica son monomios:
se divide el numerador entre el denominador por sus factores comunes hasta que sean primos entre sí. Esto para la parte numérica y para la parte literal que poseen exponentes, aplicamos las propiedades fundamentales de la potenciación:

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\figura019.jpg
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10090.jpg

Cuando sus términos son polinomios:
Se factorizan las expresiones algebraicas dadas, si es posible se descomponen en sus factores primos y se eliminan los factores comunes entre el numerador y el denominador.

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\figura019.jpg
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10091.jpg

Simplificar
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10092.jpg


2.3 OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS

2.3.1 Suma y resta
Para sumar o restar fracciones algebraicas se debe tener en cuenta lo siguiente:

Se simplifican, si es posible, las fracciones iniciales.

Si son de distinto denominador se halla el m.c.m.

Se realizan las operaciones indicadas.

Se suman o restan los numeradores de las fracciones que resultan y partimos esta suma o resta por el denominador común.

Se reducen los términos semejantes en el numerador y se simplifica la fracción resultante en caso de que sea posible.

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\figura019.jpg

Sumar las siguientes expresiones:
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10093.jpg

Sumar:
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10094.jpg


2.3.2 Multiplicación de fracciones

Para multiplicar dos o más fracciones:

Se factorizan los términos de las fracciones que se van a multiplicar, si es posible.

Se simplifican las fracciones eliminando los factores comunes en los numeradores y denominadores.

Se multiplican los numeradores y los denominadores simplificados entre sí.

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\figura019.jpg
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10095.jpg


2.3.3 División de fracciones

Para dividir dos o más fracciones, se multiplican el dividendo por el invertido del divisor y se procede como en la multiplicación.

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\figura019.jpg
Dividir la siguiente expresión

 


2.3.4 Fracciones algebraicas complejas

Para resolver fracciones algebraicas complejas, primero se efectúan las operaciones que estén indicadas en el numerador, luego las indicadas en el denominador y se dividen los resultados entre sí.

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\figura019.jpg
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10097.jpg

 

Resolver:
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10098.jpg

 

 

 

HISTORIAS DE PI

Si las matemáticas tienen algún número emblemático ese es PI: 3,141592…
La figura de Ramanujan, un joven indio sin formación universitaria está íntimamente ligadaal número pi. A principio de siglo descubrió nuevas series infinitas para obtener valores aproximados de pi. Las mismas que utilizan los grandes ordenadores para obtener millones de cifras de este familiar y extraño número. Pero el verdadero padre de pi es un matemático griego de hace 2.300 años, Arquímedes. Él descubrió la famosa fórmula del área del círculo:
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10099.jpg

Y también el volumen y el área de la esfera. De paso inventó el primer método para obtener valores aproximados de pi, aproximando el círculo mediante polígonos de un número creciente de lados. Pero pi no sólo aparece en matemáticas cuando se habla de círculos o esferas, su presencia en relaciones numéricas, en el cálculo de probabilidades y hasta en estudios estadísticos la confieren una omnipresencia casi mágica.

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