Probabilidad y Estadistica





Probabilidad y Estadistica

Matematicas Basicas

 

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

 

6. ESTADÍSTICA
La estadística nos ayuda a corroborar hipótesis dando un soporte matemático aobservaciones realizadas. La estadística es la ciencia de la probabilidad y por ello no es correcto realizar afirmaciones categóricas o negaciones rotundas, sino que estas afirmaciones o rechazos hay que enmarcarlos siempre en un nivel de significación, que no es más que encuadrarlo dentro de un margen de error que nosotros mismos nos estamos fijando (generalmente entre el 1-5%). Lo primero que debe considerarse al realizar un experimento que posteriormente llevará un tratamiento estadístico es:
- Plantear la hipótesis de trabajo que se quiere demostrar.
- Definir bien las variables a estudiar.
- Cómo recoger y recopilar los datos (TIPOS DE MUESTREO).
- Elección del método estadístico más apropiado para demostrar la hipótesis de trabajo
de la mejor manera posible.
Es conveniente resaltar que el fin de los muestreos es extraer una muestra losuficientemente representativa de una población, para que las conclusiones obtenidas puedan extrapolarse a nivel poblacional, de ahí que sea de suma importancia la minuciosa elección y preparación en la recogida de datos.


6.1 TIPOS DE MUESTREO

Estratificado:
Las muestras se toman por capas o estratos de condiciones homogéneas (solana, umbría,...). Es un muestreo muy utilizado en Ecología.
Estos muestreos sirven para confirmar algún tipo de distribución.
Al azar.
Contagiosa.

Regular (Sistemático):
Se basa en la obtención al azar de una primera unidad a partir de la cual se seleccionanlas siguientes, mediante algún criterio fijo repetido periódicamente (ej.- el transecto, muyinteresante en gradientes).

Aleatorio simple:
Se basa en la toma al azar y de manera independiente de una muestra. Es eficaz parazonas homogéneas.


6.2 REPARTOS PROPORCIONALES

En las propiedades de las proporciones hemos visto que:

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficas\mat10338.jpg
6.2.1 Reparto directo

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficas\figura019.jpg
Un banco quiere repartir $1.200.000.oo entre sus tres principales clientes, de modo que las partes sean directamente proporcionales a los años de antigüedad de sus cuentas.
Si las antigüedades de las cuentas son 6, 8, y 12 años, respectivamente,
¿Cuánto le corresponde a cada cliente?
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficas\mat10339.jpg

Resumiendo, si queremos repartir una cantidad n de forma directamente proporcional a: a, b y c, donde x, y, z es lo que deben recibir, tenemos que:
x /a = y /b = z /c, donde x + y + z = n y por propiedades de las proporciones sabemos que x /a = y /b = z /c = (x + y + z) / (a + b + c).
6.2.2 Reparto inverso

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficas\figura019.jpg
En una carrera de observación con autos, se van a repartir $1.000.000.oo entre los tresprimeros participantes, de manera que los premios sean inversamente proporcionales alas pistas encontradas. Si al primero le hizo falta por encontrar 5 pistas, al segundo 10pistas y al tercero 15.
¿Cuánto recibe cada participante?
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficas\mat10350.jpg
Las proporciones las establecemos:

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficas\mat10352.jpg
Si se quiere repartir una cantidad n inversamente proporcional a: a, b, y c, donde x, y, z es lo que deben recibir respectivamente, tenemos que:
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficas\mat10353.jpg

6.3 TASAS
6.3.1 Interés

Es el procedimiento por medio del cual hallamos la ganancia o el interés que genera una determinada cantidad de dinero o capital prestado o puesto durante un tiempo a un determinado tanto por ciento. De la anterior definición extraemos los siguientes términos:

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficas\boton.gifCapital: es la cantidad prestada o invertida, C.

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficas\boton.gif
Interés: es lo que recibimos a cambio por el dinero prestado, I.

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficas\boton.gif
Tiempo: es la permanencia del préstamo, T.

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficas\boton.gif
Rédito o tasa de interés (%): es la razón porcentual que representa el interés pagado por cada $100 de capital en un determinado tiempo (t). Se simboliza mediante la letra r.

La deducción de las fórmulas depende del tiempo o permanencia del préstamo.
Veamos:

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficas\1wht.gifCuando el tiempo es un año:
Para esta condición se dice que si $100 producen r al año, $C producirán I. Sabemos que el capital y el interés son magnitudes directamente proporcionales, ya que a más capital invertido, será mayor el interés generado.
Luego igualamos las razones directas:
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficas\mat10366.jpg
De esta fórmula despejamos cada una de las magnitudes en función de las otras,aplicando transposición de términos tendremos:

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficas\mat10367.jpg

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficas\2wht.gifSiendo el tiempo varios años:
El tiempo que permanezca un capital, hace que el interés sea menor o mayor. Es decir,que el interés que genera un capital C durante t años, es igual al interés que genera uncapital t veces mayor durante un año, o sea, el interés durante un año del capital Ct.
Bajo estas condiciones tenemos:
$100 generan r en un año.
$Ct generan I en un año.
Realizando la proporción:
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficas\mat10368.jpg

Despejando cada una de las magnitudes en función de las otras:

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficas\mat10369.jpg

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficas\3wht.gifSiendo el tiempo meses:
Cuando el tiempo está expresado en meses, se tiene t/12, luego:
Si $100 generan r en un año.
$Ct /12 producirán I en un año.
Formando la proporción:

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficas\mat10370.jpg

Despejando cada una de las magnitudes en función de las otras:

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficas\mat10371.jpg

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficas\4wht.gifSiendo el tiempo días:
Dependerá del número de días que se le asigne al año comercial. Generalmente un añocomercial se asume de 360 días. Para tal caso, el tiempo será t/360, reemplazando estacantidad t / 360, como en el caso anterior, genera las siguientes fórmulas:

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficas\mat10372.jpg

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficas\mat10376.jpgDescripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficas\lampara-estudio.gif

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficas\1wht.gif
Calcular el interés de $650 colocados al 6% anual, durante un tiempo de 10 años.
Tiempo expresado en años:
C = $650
r = 6%
t = 10 años.
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficas\mat10363.jpg
Interés = $390

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficas\2wht.gif
¿Cuál será el capital producido por $45.000, colocados al 20/3 % en 7 meses?
Tiempo expresado en meses:
I= $45.000
r = 20/3 %
t = 7 meses.
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficas\mat10364.jpg

 

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficas\mat10375.jpgDescripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficas\lampara-estudio.gif

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficas\mat10374.jpg


6.4 PROBABILIDAD
La idea intuitiva de probabilidad se basa en la llamada ley de los grandes números,enunciada por Bernoulli: "La frecuencia relativa de un suceso tiende a estabilizarse en torno a un número, a medida que el número de pruebas del experimento creceindefinidamente", es decir, si A es un suceso, podríamos hablar:
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficas\mat10377.jpg
Este número al que la frecuencia relativa se acerca, es lo que llamaremos la probabilidaddel suceso. Se representará como p(A).


Definición clásica de probabilidad: (regla de Laplace)
La probabilidad de un suceso A se calcula como el número de casos favorables al suceso A, partido por el número de casos posibles del experimento aleatorio:

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficas\mat10378.jpg

Combinaciones, variaciones y permutaciones
Se llaman variaciones de n elementos tomados de m en m, a los grupos de m elementos escogidos de los n elementos de un conjunto, teniendo en cuenta que dos grupos son distintos si difieren en algún elemento o en el orden de colocación de ellos.

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficas\boton.gifSi los elementos se pueden repetir, se llaman variaciones con repetición.
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficas\boton.gifSi m = n se llaman permutaciones de n elementos.
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficas\boton.gifSi el orden no importa, se llaman combinaciones.


6.4.1 TEORÍA DEL MUESTREO
La teoría de muestreo es el estudio de las relaciones existentes entre una población ymuestras extraídas de la misma. Tiene gran interés en muchos aspectos de la estadística.
Por ejemplo, permite estimar cantidades desconocidas de la población, tales como: la media poblacional, la varianza, etc., frecuentemente llamada parámetros poblacionales o brevemente parámetros, a partir del conocimiento de las correspondientes cantidadesmuestrales, tales como: la media muestral, la varianza, etc., a menudo llamadasestadísticos muestrales o brevemente estadísticos. La teoría de muestreo es también útil para determinar si las diferencias que se puedan observar entre dos muestras son debidas a la aleatoriedad de las mismas o si por el contrario, son solamente significativas. Tales preguntas surgen por ejemplo, al ensayar un nuevo suero para el tratamiento de unaenfermedad, o al decir si un proceso de producción es mejor que otro. Estas decisionesenvuelven a los llamados ensayos e hipótesis de significación, que son de gran importancia en la teoría de la decisión. En general, un estudio de inferencias realizado sobre una población mediante muestras extraídas de la misma, junto con las indicaciones de la exactitud de tales inferencias aplicadas a la teoría de la probabilidad, se le conoce como inferencia estadística.


6.4.2 Muestras al azar, números aleatorios
Para que las conclusiones de la teoría del muestreo e inferencia estadística sean válidas,las muestras deben elegirse de forma que sean representativas de la población. Unestudio sobre métodos de muestreo y los problemas que tales métodos implican, seconoce como diseño de experimentos.
El proceso mediante el cual se extrae de una población una muestra representativa de la misma, se conoce como muestra al azar, de acuerdo con ello cada miembro de lapoblación tiene la posibilidad de ser incluido en la muestra. Una técnica para obtener una muestra al azar es asignar números a cada miembro de la población, escritos estos números en pequeños papeles, se introducen en una urna y después se extraen losnúmeros de la urna, teniendo cuidado de mezclarlos bien antes de cada extracción.
Esto puede ser sustituido por el empleo de una tabla de números aleatorios, construidaespecialmente para tales propósitos. Muestreo con y sin remplazamiento. Si se extrae unnúmero de una urna, se puede volver o no el número a la urna antes de una segundaextracción. En el primer caso un mismo número puede salir varias veces, mientras que en el segundo un número determinado puede salir solamente una vez. En el muestro, en el quecada miembro de la población puede elegirse más de una vez, se le llama muestreo conremplazamiento, mientras que si cada miembro no puede ser elegido más de una vez, se tiene el muestreo sin remplazamiento. Las poblaciones pueden ser finitas o infinitas.
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficas\figura 019.jpg

 

Se extraen sucesivamente 10 bolas sin remplazamiento de una urna que contiene 100, se está tomando muestras de una población finita, mientras que si se lanza al aire unamoneda 50 veces, anotándose el número de caras, se está muestreando en una poblacióninfinita. Una población finita, en la que se realiza un muestreo con remplazamiento, puedeteóricamente ser considerada como infinita, puesto que puede extraerse de cualquiernúmero de muestras, sin agotar la población. En muchos casos prácticos, el muestreo de una población finita, que es muy grande, puede considerarse como una población infinita

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