Ecuaciones de primer grado





ecuaciones de primer grado

Matematicas Basicas

Ecuación de primer grado


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Ejemplo gráfico de ecuaciones lineales.
Una ecuación de primer grado o ecuación lineal es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, es decir, una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia. En el sistema cartesiano representan rectas. Una forma común de ecuaciones lineales es:
Descripción:  y = m \cdot x + b \;
Donde Descripción:  m \;  representa la pendiente y el valor de Descripción:  b \;  determina la ordenada al origen (el punto donde la recta corta al eje y).
Las ecuaciones en las que aparece el término Descripción:  x \cdot y  (llamado rectangular) no son consideradas lineales.
Algunos ejemplos de ecuaciones lineales:
Descripción:  3x + 2y = 5 \,
Descripción:  3x + y -5 = -7x + 4y +3 \,
Descripción:  x - y + z = 15 \,
Descripción:  3x - 2y + z = 20 \,
Descripción:  x + 4y - 3z = 10 \,

 

Formas de ecuaciones lineales
Formas complejas como las anteriores pueden reescribirse usando las reglas del álgebra elemental en formas más simples. Las letras mayúsculas representan constantes, mientras x e y son variables.
Ecuación general
Descripción: Ax + By + C = 0\,
Aquí A y B no son ambos cero. Representa una línea en el cartesiano. Es posible encontrar los valores donde x e y se anulan.
Ecuación segmentaria o simétrica
Descripción: \frac{x}{E} + \frac{y}{F} = 1
Aquí E y F no deben ser cero. El gráfico de esta ecuación corta al eje X y al eje Y en E y F respectivamente.
Forma paramétrica
Descripción: x = Tt + U\,
Descripción: y = Vt + W\,
Dos ecuaciones que deben cumplirse de manera simultanea, cada una en la variable t. Puede convertirse a la forma general despejandot en ambas ecuaciones e igualando.
Casos especiales:
Descripción: y = F\,
Un caso especial es la forma estándar donde Descripción:  \, A = 0  y Descripción:  \, B = 1  . El gráfico es una línea horizontal sin intersección con el eje X ó (si F= 0) coincidente con el ese eje.
Descripción: x = E\,
Otro caso especial de la forma general donde Descripción:  \, A = 1  y Descripción:  \, B = 0 . El gráfico es una línea vertical, interceptando el eje X en E.
Descripción: 0 = 0\,
En este caso, todas las variables fueron canceladas, dejando una ecuación que es verdadera en todos los casos. La forma original (no una tan trivial como la del ejemplo), es llamada identidad. El gráfico es todo el plano cartesiano, ya que lo satisface todo par de números reales x e y.
Nótese que si la manipulación algebraica lleva a una ecuación como 1 = 0 entonces la original es llamada inconsistente, o sea que no se cumple para ningún par de números x e y. Un ejemplo podría ser: Descripción:  \, 3 x + 2 =3 x - 5 .
Adicionalmente podría haber más de dos variables, en ecuaciones simultaneas. Para más información véa: Sistema lineal de ecuaciones

Ecuación lineal en el espacio n-dimensional
Las funciones lineales de varias variables admiten también interpretaciones geométricas. Así una función lineal de dos variables de la forma
Descripción:  f(x,y) = a_1 x + a_2 y \,
representa un plano y una función
Descripción: f(x_1,x_2,...,x_n) = a_1 x_1 + a_2 x_2 + ... + a_n x_n \,
representa una hipersuperficie plana de n-1 dimensiones en un volumen n-dimensional.

Sistemas de ecuaciones lineales

Los sistemas de ecuaciones lineales expresan varias ecuaciones lineales simultáneamente y admiten un tratamiento matricial. Para su resolución debe haber tantas ecuaciones como incógnitas y el determinante de la matriz ha de ser real y no nulo. Geométricamente corresponden a intersecciones de líneas en un único punto (Sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas), planos en una recta (dos ecuaciones lineales de tres incógnitas) o un único punto (tres ecuaciones lineales de tres incógnitas). Los casos en los que el determinante de la matriz es nulo no poseen solución.
Descripción:      \left \{         \begin{array}{rcrcrcr}              5 \,x & - & 3 \,y & + & 4 \,z & = & 8  \\             -3 \,x & + & 2 \,y & + &   \,z & = & 5 \\              4 \,x & - &   \,y & + & 3 \,z & = & 3         \end{array}     \right .

Linealidad

Artículo principal: Aplicación lineal


Una función es lineal si solo se cumple con la siguiente proposición:
Descripción: f\, (x + y) = f\, (x) + f\, (y)
Descripción: f\,(a x) = a f\, (x)

donde a es cualquier escalar. También se llama a f operador lineal

MAS EJEMPLOS DE COMO RESOLVER ECUACIONES DE PRIMER GRADO O LINEALES

Una ecuación es una igualdad donde por lo menos hay un número desconocido, llamado incógnita o variable, y que se cumple para determinado valor numérico de dicha incógnita.
Se denominan ecuaciones lineales o de primer grado a las igualdades algebraicas con incógnitas cuyo exponente es 1 (elevadas a uno, que no se escribe).
Como procedimiento general para resolver ecuaciones enteras de primer grado se deben seguir los siguientes pasos:
1.  Se reducen los términos semejantes, cuando es posible.
2.  Se hace la transposición de términos (aplicando inverso aditivo o multiplicativo), los que contengan la incógnita se ubican en el miembro izquierdo, y los que carezcan de ella en el derecho.
3.  Se reducen términos semejantes, hasta donde es posible.
4.  Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita (inverso multiplicativo), y se simplifica.
Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita
Para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita, aplicamos el criterio del operador inverso (inverso aditivo o inverso multiplicativo), como veremos en el siguiente ejemplo:
Resolver la ecuación 2x – 3 = 53
Debemos tener las letras a un lado y los números al otro lado de la igualdad (=), entonces para llevar el –3 al otro lado de la igualdad, le aplicamos el inverso aditivo (el inverso aditivo de –3 es +3, porque la operación inversa de la resta es la suma).
Entonces hacemos:
   2x – 3 + 3 = 53 + 3
En el primer miembro –3 se elimina con +3 y tendremos:
    2x = 53 + 3
    2x = 56
Ahora tenemos el número 2 que está multiplicando a la variable o incógnita x, entonces lo pasaremos al otro lado de la igualdad dividiendo. Para hacerlo, aplicamos el inverso multiplicativo de 2 (que es ½) a ambos lados de la ecuación:
   2x • ½   =  56 • ½
Simplificamos y tendremos ahora:
   x = 56 / 2
   x = 28
Entonces el valor de la incógnita o variable "x" es 28.

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