Ecuaciones cuadraticas y lineales





Ecuaciones

Matematicas Basicas

ECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS

 

3.1 ECUACIONES RACIONALES DE PRIMER GRADO

Todos los conceptos y procedimientos vistos en la solución de operaciones con fracciones algebraicas se pueden aplicar ahora en la solución de las ecuaciones fraccionarias.

3.1.1 Ecuación fraccionaria

Es aquella ecuación que tiene como fraccionarios los coeficientes de sus términos.

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Resolver:
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Resolver:
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3.1.2 Ecuaciones literales

Una ecuación es literal cuando uno o todos los coeficientes de las incógnitas o lascantidades conocidas en la ecuación están representadas por letras.

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Resolver:
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Resolver:
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3.1.3 Problemas sobre ecuaciones

Ahora se verá la aplicación de los procedimientos anteriores en la solución de problemas.
Para la solución de estos planteamientos lo importante es lograr traducirlos a expresiones algebraicas.
Observa algunos ejemplos de traducción de expresiones del español a expresionesalgebraicas:

La suma de la tercera y cuarta parte de un número es igual a 40.
Traducción algebraica:
x = número x / 3 + x / 4 = 40

La suma de dos números consecutivos, más su diferencia es igual a 200.
x = número
x + 1 = consecutivo
[ x + ( x + 1 ) ] + [ x - ( x + 1 ) ] = 200

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Resolver
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.x + 1 = - 57 + 1 = - 56........ número intermedio
.x + 2 = - 57 + 2 = - 55........ número mayor

3.2 INECUACIÓN

Inecuación es una desigualdad en la que se presentan una o más incógnitas y sólo sondemostrables para valores específicos de las incógnitas.
3.2.1 Propiedades de las Inecuaciones

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3.2.2 Solución de Inecuaciones
Resolver una Inecuación es hallar y graficar el conjunto solución de la Inecuación.

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Resolver:
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Resolver:
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10119.jpg
Las soluciones de las Inecuaciones generan una serie de intervalos que se pueden clasificar y definir de la siguiente manera:

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10120.jpg

 

3.3 SISTEMAS DE ECUACIONES

Un sistema de ecuaciones es un grupo de ecuaciones que representan líneas rectas.
Una ecuación es una igualdad en la que los términos pueden ser conocidos odesconocidos.

3.3.1 Ecuaciones simultáneas

Dos o más sistemas de ecuaciones con dos o más incógnitas, se pueden considerarsimultáneas, cuando los valores de las incógnitas satisfacen a las ecuaciones entre sí.
Las ecuaciones:
x + 6y = 27
7x - 3y = 9
Son simultáneas porque x = 3, y = 4 son valores de las incógnitas que satisfacen las dos ecuaciones.
3.3.2 Ecuaciones equivalentes

Son las ecuaciones que se obtienen una en función de la otra, es decir, ampliando o reduciendo una ecuación, se obtiene otra ecuación equivalente a la inicial.

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\figura019.jpg
Las ecuaciones:
3x + 6y = 12
x + 2y = 4
Son equivalentes porque dividiendo entre 3 la primera ecuación se obtiene la segundaecuación. Estas ecuaciones tienen una serie infinita de soluciones comunes.

 

3.3.3 Sistema de ecuaciones

Es la reunión de varias ecuaciones que tienen soluciones comunes para los valores de las incógnitas.
3.3.4 Sistemas de dos ecuaciones simultáneas de primer grado con dos
incógnitas
Para desarrollar un sistema de ecuaciones de estas características es indispensableobtener una sola ecuación con una incógnita a partir de las dos ecuaciones iniciales.
Este proceso se conoce como eliminación de variables y existen varios métodos deaplicación.
3.3.5 Métodos de eliminación
Los métodos de eliminación más utilizados en el desarrollo de sistemas de ecuaciones son:

Eliminación por igualación
Consiste en despejar de las ecuaciones dadas la misma variable e igualarlas para obtener una sola ecuación con una incógnita.

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\figura019.jpg
Resolver el sistema:
3x - 2y = - 2......... (1)
5x + 8y = - 60...... (2)

Solución:
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Para comprobar que los valores obtenidos satisfacen las dos ecuaciones, losreemplazamos en cada una de ellas verificando que se conviertan en identidades.
Observa las siguientes ecuaciones:
(1)....... 3 x - 2y = - 2
3(- 4) - 2(-5) = -2
-12 + 10 = - 2
-2 = - 2
(2)..... 5x + 8y = -60
5(-4) + 8(-5) = -60
-20 - 60 = - 60
- 60 = - 60

Eliminación por sustitución
Este método consiste en despejar cualquiera de las incógnitas de una de las ecuacionesdadas y reemplazar el valor encontrado en la otra ecuación, para obtener una sola ecuacióncon una sola incógnita.

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\figura019.jpg
Resolver el sistema
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Eliminación por reducción
En el desarrollo de este método se trata de hacer iguales los coeficientes de una de las dos incógnitas de las ecuaciones dadas, con el fin de que al sumar algebraicamente estas ecuaciones se elimine una variable, para luego obtener una sola ecuación con una sola incógnita.

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\figura019.jpg
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10127.jpg

Ahora, se sustituye el valor de x en cualquiera de las ecuaciones iniciales, por ejemplo,
reemplacemos en la ecuación (2):
Ecuación (2) …………………… 15x + 19 y = -31
15(3) + 19 y = -31
45 + 19 y = -31
19 y = -31 - 45
19 y = -76
y =- 4
Reemplacemos estos valores encontrados en cualquiera de las ecuaciones iniciales,
por ejemplo, en la ecuación (1):
Ecuación (1) ………………… 12x - 17y = 104
12(3) - 17(-4) = 104
36 + 68 = 104
104 = 104

3.3.6 Sistemas numéricos de dos ecuaciones enteras con dos incógnitas
Son sistemas de ecuaciones en los que antes de aplicar alguno de los métodos anteriores,se deben simplificar. Después de simplificar se procede al desarrollo mediante alguno delos métodos estudiados. Se recomienda utilizar el de eliminación por reducción por ser elmétodo más práctico y ágil de aplicar.

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\figura019.jpg
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones

12(x + 2y) - 8(2x + y) = 2(5x - 6y)..... (1)
20(x - 4y) = -10.................................. (2)

Eliminando los signos de agrupación, (paréntesis):
12x + 24y - 16x -8 y = 10x - 12y........(1)
20x - 80y = -10...................................(2)
Por transposición de términos:
12x- 16x - 10x = -12y - 24y + 8........(1)
20x - 80y = -10..................................(2)
Reduciendo términos semejantes:
-14x + 28y = 0........(1)
20x - 80y = -10.......(2)
Simplificando por 14 la ecuación (1)…
- x + 2y = 0
Simplificando por 10 la ecuación (2)…
2x - 8y = -1
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10129.jpg
Para verificar si los valores encontrados satisfacen las ecuaciones iniciales, en una de ellas reemplazamos estos valores y comprobamos que el resultado sea una identidad.

 

3.3.7 Sistemas numéricos de dos ecuaciones fraccionarias y literales con
dos incógnitas

Son sistemas de ecuaciones en los que antes de aplicar alguno de los métodos anteriores,se deben convertir a ecuaciones lineales. Después de convertir a ecuaciones lineales seprocede al desarrollo mediante alguno de los métodos estudiados.

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\figura019.jpg
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10130.jpg
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10131.jpg
Ahora, se reemplaza el valor encontrado de y = a + b en cualquiera de las dos ecuaciones(1) ó (2), por ejemplo, reemplacemos en la ecuación (2):

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10132.jpg

 

3.3.8 Resolución de ecuaciones lineales mediante el método gráfico

Se puede resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante la gráfica de cada una de las ecuaciones.

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\figura019.jpg
Resolver gráficamente el sistema de ecuaciones
(1).......... 3x + 5y = 7
(2).......... 2x - y = - 4
Cada una de las ecuaciones las convertimos a la forma general..... y = mx + b
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10133.jpg
Ahora, se le dan valores a la variable x, para obtener valores de la variable y, en cada unade las ecuaciones:

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10134.jpgDescripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10135.jpg

Observemos que en las dos ecuaciones hay una pareja de puntos que satisfacen los valoresde las variables para las dos ecuaciones. Al hacer la gráfica de cada una de las 
ecuaciones iniciales nos damos cuenta que estas rectas se cortan en un punto común (-1, 2).
Este punto de corte será la solución del sistema de ecuaciones propuesto.
Es decir:
x = -1
y = 2

Gráfica:
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10136.jpg

 

Resolver por cualquiera de los métodos vistos, los siguientes sistemas
de ecuaciones:

7x -4y = 5
9x + 8y = 13

12(x + 2y) - 8(2x + y) = 2(5x - 6y)
20(x - 4y) = -10

 

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat8049.jpg

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10137.jpg

Dentro de 17 años, la edad de Nancy es el doble de la edad que tenía hace 6 años.
Calcular la edad actual de Nancy.
Llamemos
x = edad actual de Nancy.
y = edad que tendrá dentro de 17 años.
(1)............ y = x + 17 Edad que tendrá dentro de 17 años.
(2)............ y = 2(x - 6) Doble de la edad que tenía hace 6 años.
Resolviendo por igualación:
x + 17 = 2(x-6)
x + 17 = 2x - 12
- 2x = - 12 - 17
- x = - 12 - 17
x = 29 años
La edad actual de Nancy es de 29 años.

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficas\3wht.gif
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10138.jpg
Hemos armado el sistema de ecuaciones:
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10139.jpg

3.4 PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES

Los productos y cocientes notables tienen una aplicación importante en el tratar dedesarrollar de una manera más rápida ejercicios algebraicos.
3.4.1 Productos notables

Son multiplicaciones que cumplen reglas específicas

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10140.jpg

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10141.jpg

Para la resta será:
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10142.jpg
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\figura019.jpg
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10143.jpg

Producto por la diferencia de dos cantidades (a + b) (a - b)

Resolviendo el producto:
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10144.jpg
El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades, es igual a la diferencia de los cuadrados de las dos cantidades.

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\figura073.jpg
Resolver:
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10145.jpg

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10146.jpg

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10147.jpg

El cubo de la suma de dos cantidades, es igual a, la primera cantidad elevada al cubo, mástres veces la primera cantidad elevada al cuadrado por la segunda, más tres veces laprimera cantidad por la segunda cantidad elevada al cuadrado más la segunda cantidadelevada al cubo.

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\figura019.jpg
Resolver:
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10148.jpg
Para la resta será:
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10150.jpg
Entonces:
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10149.jpg

El cubo de la suma de dos cantidades es igual a la primera cantidad elevada al cubo,menos tres veces la primera cantidad elevada al cuadrado por la segunda, más tres vecesla primera cantidad por la segunda elevada al cuadrado, menos la segunda cantidad elevada al cubo.

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\figura019.jpg
Resolver:
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10151.jpg

Productos de la forma (x ± a) (x ± b)
Desarrollemos las siguientes multiplicaciones:

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10152.jpg

En las cuatro multiplicaciones se observa que:

El primer término del resultado de la multiplicación es el producto de los primeros términosde los binomios.

El coeficiente del segundo término del resultado de la multiplicación es la suma algebraicade los segundos términos de los binomios.

El tercer término del resultado de la multiplicación es el producto algebraico de lossegundos términos de los binomios.

Gráficamente:

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10153.jpg

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\figura073.jpg
Efectuar:
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10154.jpg
Reuniendo las tres propiedades simbólicamente:
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10155.jpg

 

3.5 TRIÁNGULO DE PASCAL
El triángulo de Pascal muestra los coeficientes del polinomio resultado de cada uno de los binomios planteados, de forma que:

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10156.jpg

De la solución de los anteriores binomios mediante el triángulo de Pascal se deduce:

El polinomio resultado, tiene un término más que el exponente al cual está elevado elbinomio.

El exponente de la primera cantidad del binomio (a), disminuye de 1 en 1, a partir delexponente del binomio, mientras la segunda cantidad del binomio (b) aumenta de 1 en 1hasta ser igual al exponente del binomio, y aparece a partir del segundo término del polinomio resultado.

El coeficiente del primero y último término del polinomio resultado es igual a 1. Los otroscoeficientes son la suma de los coeficientes como lo describe el triángulo de Pascal.

Nota: cuando el binomio posee signo negativo, los signos del polinomio resultado van alternados, es decir: +, -, +, -, +, etc.

 

3.6 COCIENTES NOTABLES
Los cocientes notables más importantes se pueden desarrollar a partir de algunos de los productos notables vistos anteriormente.
Del producto notables:
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10158.jpg
Por transposición de términos se puede deducir:
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10157.jpg
De la misma forma realizando las divisiones:
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10159.jpg

Se puede establecer las siguientes normas:

El polinomio resultado, tiene la cantidad de términos igual al exponente de las letras del dividendo.

El primer término del polinomio resultado se obtiene dividiendo el primer término deldividendo entre el primer término del divisor. El exponente de a disminuye de 1 en 1 en cada término.

El exponente del segundo término (b) es 1 y aparece en el segundo término del polinomioresultado. Éste aumenta de 1 en 1 en cada término siguiente a éste.

Cuando el divisor es a - b todos los signos del polinomio resultado son positivos, y cuandoel divisor es a + b los signos del polinomio resultado van alternados +, --, +, -, etc.

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\figura073.jpg
Dividir:
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10160.jpg

 

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10162.jpg

Resolver los siguientes ejercicios:
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10161.jpg

 

3.7 DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL
3.7.1 Factor

Se llaman factores de una expresión algebraica a las expresiones que multiplicadas entre sí, dan como resultado la expresión inicial.
Si multiplico x por x + y se obtiene:

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10163.jpg
3.7.2 Factorizar:

Es convertir una expresión algebraica en el producto indicado de sus factores.
3.7.3 Casos de factorización
Para factorizar monomios y polinomios se utilizan varios procedimientos que se desarrollanmediante situaciones o casos que se presentan con un método particular para cada uno.
3.7.3.1 Factor común monomio:
Se presenta cuando todos los términos de un polinomio tienen una parte en común, bien sea numérica, literal o ambas.

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\figura019.jpg
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10164.jpg
Los tres términos tienen el factor común a. Escribimos el factor común a como coeficientede los resultados de dividir cada uno de los términos entre el factor común.
Estos resultados se encierran dentro de un paréntesis, separados por sus correspondientessignos.
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10165.jpg

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\figura019.jpg
Factorizar:
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10167.jpg

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\figura019.jpg
Factorizar:
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10166.jpg

Factor común polinomio:

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\figura019.jpg
Factorizar:
3x(x - 2) - 2y(x - 2)
Los dos términos de esta expresión tienen en común el binomio (x - 2), entonces escribimosel binomio (x - 2) como coeficiente de un paréntesis donde irán los resultados de dividir cada uno de los términos entre el factor común (x - 2), separados por el signo correspondiente.
Factor común: (x - 2)
Luego:
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10168.jpg
Se escribe primero el factor común. Todo caso de factorización se prueba multiplicando losfactores obtenidos y comprobando que resulte la expresión algebraica inicial.

 

3.7.3.2 Factor común por agrupación

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\figura019.jpg
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10169.jpg
El segundo paréntesis va precedido del signo menos -, que corresponde al signo del
tercer término, y se sabe que se debe cambiar de signo al término 3n, porque el paréntesis
va precedido del signo menos -.
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10170.jpg

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\figura019.jpg
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10171.jpg

 

3.7.3.3 Trinomio cuadrado perfecto
Una cantidad es cuadrado perfecto cuando resulta de un producto de dos factores iguales:
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10172.jpg
De lo anterior se concluye que la raíz cuadrada de una cantidad positiva posee dos
signos: uno positivo y otro negativo.

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10173.jpg
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10174.jpg
El anterior procedimiento se enuncia mediante la siguiente regla: un trinomio ordenado es cuadrado perfecto si el primer y tercer término son cuadrados perfectos, es decir, que tiene raíz cuadrada exacta, son positivos y el segundo término es dos veces el producto de sus raíces cuadradas. El segundo término puede ser positivo o negativo.

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\figura019.jpg
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10175.jpg
Hay ocasiones en que el primero o tercer o ambos términos de un trinomio resultan serexpresiones compuestas y si bien es un caso especial, para su desarrollo se procede de igual manera a lo visto en el ejemplo anterior:

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\figura019.jpg
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10176.jpg

 

3.7.3.4 Diferencia de cuadrados perfectos

Se ha visto en los productos notables que la diferencia de los cuadrados de dos cantidades, es igual al producto de la suma por la diferencia de las raíces cuadradas de las cantidades. Recordemos:
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10177.jpg
Para factorizar una diferencia de cuadrados le extraemos la raíz cuadrada tanto al minuendocomo al sustraendo y el resultado será el producto de la suma por la diferencia de las raícescuadradas extraídas.

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\figura073.jpg
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10178.jpg

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10179.jpg
De acuerdo con la expresión general son trinomios como:
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10181.jpg
y que tienen las siguientes características:

El coeficiente del primer término es igual a 1.

El primer término es una parte literal cualquiera elevada al cuadrado, es decir, es cuadrado perfecto.

El segundo término tiene la misma parte literal que el primer término con exponente 1 y coeficiente cualquier número positivo o negativo.

El tercer término es un número cualquiera positivo o negativo e independiente del primero y segundo términos.

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\figura019.jpg
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10182.jpg
Se descompone el trinomio en dos binomios, donde el primer término de cada binomio va a ser la raíz cuadrada del primer término del trinomio:
(x....... .) (x......... )
En el primer binomio se escribe el signo del segundo término del trinomio, y en el segundobinomio escribimos el producto del signo del segundo término del trinomio por el signo deltercer término del trinomio:
(x +...... ) (x -...... )
Ahora se buscan dos números cuya suma sea igual al coeficiente de segundo término deltrinomio con su signo correspondiente y cuyo producto sea igual al tercer término del trinomio con su signo correspondiente.
Para hallar estos dos números de una forma más rápida, se realiza mediante ladescomposición del tercer término del trinomio en sus factores primos:
(x + 5) (x - 2)
10 dividido entre 2 = 5
5 dividido entre 5 = 1
Los números serán 5 y 2.
Se han buscado dos números cuya suma algebraica sea igual a 3 y cuyo producto sea igual
a -10.
Entonces se concluye que:
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10183.jpg

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10180.jpg

Estos trinomios se diferencian de los anteriores (caso VI) en que el primer término tiene un coeficiente diferente de 1. Por tal razón, pueden no ser cuadrados perfectos estoscoeficientes.

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\figura019.jpg
Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10184.jpg

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10187.jpgDescripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\lamest.gif

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10185.jpg

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10186.jpg

 

3.8 FUNCIÓN CONSTANTE
Si en la ecuación general,
y = mx + b, m = 0, entonces, y = b, y como el valor de b es una constante la función linealtoma el nombre de función constante. Esto quiere decir que, el valor de y siempre va a ser el mismo, mientras los valores de x, serán todos los puntos que estén sobre la línea recta y paralelos al eje x.

Gráficamente:

Descripción: E:\AutoPlay\Docs\SECUNDARIA 3\graficos\mat10188.jpg

 

3.9 FUNCIÓN CUADRÁTICA
Es una función cuyos valores están dados por la fórmula:
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Donde a, b y c son números reales y a diferente de 0, c es el término independiente, recibenel nombre de función cuadrática.

Representación gráfica

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Ubicando los puntos en un plano cartesiano:

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3.10 ECUACIÓN CUADRÁTICA
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3.10.1 Raíces de una ecuación cuadrática
Resolver una ecuación cuadrática es encontrar los valores que puede tomar la variable parasatisfacer la igualdad inicial o dada. Estos valores encontrados son los que llamamos raícesde la ecuación cuadrática, y se llaman raíces porque como es una ecuación cuadrática(segundo grado) el mayor exponente de la variable es 2, que significa que toma dos valores y de lo que se concluye que la ecuación tiene dos raíces.

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Resuelve las siguientes ecuaciones:
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3.11 Otras formas de resolver ecuaciones cuadráticas

Completación de cuadrados

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Fórmula general
La fórmula general cuadrática es:
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La aplicación de la fórmula cuadrática la veremos mediante el siguiente

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Hallar las raíces completando cuadrados:
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Hallar las raíces usando la fórmula general:
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MUJERES MATEMÁTICAS

¿Entienden las Matemáticas de sexos? ¿Son los grandes misterios de las Matemáticasalgo exclusivo de los hombres? ¿Por qué, a lo largo de la historia, hay tan pocas mujeresque hayan destacado en una disciplina científica tan antigua? Aunque parece que en laactualidad existe un equilibrio entre el número de chicos y de chicas que estudianmatemáticas, esto es un fenómeno relativamente reciente. Desde luego hace cuarenta añosesto no ocurría. Para descubrir la presencia de las mujeres en el Universo de lasMatemáticas haremos un recorrido histórico que comienza con el nacimiento de lasmatemáticas, con Pitágoras y su mujer Teano, y que continúa con Hypatia en Alejandría,con Madame de Chatelet en Francia y con María Caetana Agnesi en Bolonia en el sigloXVIII. Incluso en el siglo XIX, Sophie Germain tuvo que adoptar la identidad de un antiguoalumno de la Escuela Politécnica de París, Monsieur Leblanc, para conseguir los materialesy problemas y para presentar sus propios resultados y trabajos. Sus trabajos sorprendierona matemáticos de la altura de Lagrange y de Gauss. Ya a finales del siglo SophiaKovaleskaya sufrió la marginación de la mujer en el mundo académico a pesar de ser unode los mejores cerebros de la época. Sólo a las puertas del siglo XIX, una mujer MarieCurie va a realizar uno de los descubrimientos más importantes de la historia de lahumanidad, un descubrimiento que va a cambiar la vida del ser humano en el siglo XX enmuchos aspectos: la radioactividad. Y consiguió algo quizás tan importante: por primera vezen la historia de la humanidad los círculos científicos abrían sus puertas de par en par a unamujer. Y con ella a tantas tan injustamente ignoradas durante siglos.

Tags: Ecuaciones cuadraticas y lineales